Sembra una semplice disequazione...
Ciao Ragazzi,
sono alle prese con questa disequazione che mi sta facendo diventare matto:
$ (n^3+1)/(n^(2)+n+1) >10000 $
Riuscite ad aiutarmi?
sono alle prese con questa disequazione che mi sta facendo diventare matto:
$ (n^3+1)/(n^(2)+n+1) >10000 $
Riuscite ad aiutarmi?
Risposte
Potresti studiare $(n^3-1)/(n^2+n+1)>10000$ che è facile da studiare e considerare che $(n^3+1)/(n^2+n+1)=n-1+2/(n^2+n+1)$
Poiché il secondo termine (intendo la frazione) è compreso in $(0,1]$ per $n in A$ (trova qual è l'insieme $A$), cosa puoi concludere?
Poi ti rimane da studiare il caso $n !in A$. Se hai scritto $n$ perché intendi $n in NN$ ($n=0$ lo escludi già perché lo vedi da verifica diretta che vale $-1$), allora avresti finito (lo vedrai, quando troverai $A$), se ho fatto bene i calcoli. Altrimenti c'è da ragionare in modo un po' diverso. Non dovrebbe essere complicato, ma ora ho troppo sonno
In ogni caso, dovrebbero essere queste le linee guida. Magari qualcun altro può darti qualche dritta ulteriore.
Buonanotte!
Poiché il secondo termine (intendo la frazione) è compreso in $(0,1]$ per $n in A$ (trova qual è l'insieme $A$), cosa puoi concludere?
Poi ti rimane da studiare il caso $n !in A$. Se hai scritto $n$ perché intendi $n in NN$ ($n=0$ lo escludi già perché lo vedi da verifica diretta che vale $-1$), allora avresti finito (lo vedrai, quando troverai $A$), se ho fatto bene i calcoli. Altrimenti c'è da ragionare in modo un po' diverso. Non dovrebbe essere complicato, ma ora ho troppo sonno
In ogni caso, dovrebbero essere queste le linee guida. Magari qualcun altro può darti qualche dritta ulteriore.
Buonanotte!
Suppongo [tex]$n$[/tex] sia un numero naturale, no?
In tale ipotesi, puoi ragionare come segue.
Eseguendo la divisione tra polinomi si trova:
[tex]$\frac{n^3+1}{n^2+n+1} =n-1+\frac{2}{n^2+n+1}$[/tex],
quindi la tua disequazione è equivalente a:
(*) [tex]$n+\frac{2}{n^2+n+1} >10001$[/tex]...
A questo punto ragiona: se [tex]$n$[/tex] è grande (e deve esserlo per verificare una disuguaglianza del genere), quanto è grande [tex]$\tfrac{2}{n^2+n+1}$[/tex]? In particolare, è più piccolo di [tex]$1$[/tex]?
In tale ipotesi, puoi ragionare come segue.
Eseguendo la divisione tra polinomi si trova:
[tex]$\frac{n^3+1}{n^2+n+1} =n-1+\frac{2}{n^2+n+1}$[/tex],
quindi la tua disequazione è equivalente a:
(*) [tex]$n+\frac{2}{n^2+n+1} >10001$[/tex]...
A questo punto ragiona: se [tex]$n$[/tex] è grande (e deve esserlo per verificare una disuguaglianza del genere), quanto è grande [tex]$\tfrac{2}{n^2+n+1}$[/tex]? In particolare, è più piccolo di [tex]$1$[/tex]?
Grazie Antimius ma è una strada che ho già percorso ma non si giunge da nessuna parte... 
Gugo 82
Il tuo ragionamento mi sembra buono in particolare $ 2/(n^2+n+1) $ sarà necessariamente una quantità che tende a zero per n grande (comunque si è un numero naturale) quindi necessariamente deve essere n > 10001 per essere soddisfatta l'ipotesi iniziale ma mi sembra tutto troppo banale.
Gugo 82
Il tuo ragionamento mi sembra buono in particolare $ 2/(n^2+n+1) $ sarà necessariamente una quantità che tende a zero per n grande (comunque si è un numero naturale) quindi necessariamente deve essere n > 10001 per essere soddisfatta l'ipotesi iniziale ma mi sembra tutto troppo banale.
Può anche sembrar banale, ma mi sembra corretto
se tu risolvi $2/(n^2+n+1)<1 hArr n^2+n-1>0 hArr n in (-infty, (-1-sqrt(5))/2) uu ((-1+sqrt(5))/2,+infty)$. Perciò, vale addirittura $AA n>=1$ essendo $n in NN$ e $(-1+sqrt(5))/2<1$.
Inoltre, $2/(n^2+n+1)>=0 AAn in NN$, perciò quella quantità non ti cambia molto la vita.
se tu risolvi $2/(n^2+n+1)<1 hArr n^2+n-1>0 hArr n in (-infty, (-1-sqrt(5))/2) uu ((-1+sqrt(5))/2,+infty)$. Perciò, vale addirittura $AA n>=1$ essendo $n in NN$ e $(-1+sqrt(5))/2<1$.
Inoltre, $2/(n^2+n+1)>=0 AAn in NN$, perciò quella quantità non ti cambia molto la vita.
Grazie carissimi colleghi... visto che siete stati così gentili vi propongo un altro esercizio che non riesco a risolvere.
Eccolo qui:
$ root(3)(n+3) -root(3)(n+2)< 0,001 $
sono riuscito soltanto a riscrivere il tutto in questo modo :
$ root(3)(n+3) -root(3)(n+2) = (n+3-n-2)/(root(3)((n+3)^2)+root(3)((n+3)(n+2))+root(3)((n+2)^2) $
ma poi non riesco ad andare avanti...
Eccolo qui:
$ root(3)(n+3) -root(3)(n+2)< 0,001 $
sono riuscito soltanto a riscrivere il tutto in questo modo :
$ root(3)(n+3) -root(3)(n+2) = (n+3-n-2)/(root(3)((n+3)^2)+root(3)((n+3)(n+2))+root(3)((n+2)^2) $
ma poi non riesco ad andare avanti...
Scusa, non ho capito bene che hai fatto al denominatore.
di preciso neanche io ho capito che ho fatto
E' una regola che ha dato il prof, l'ha giustificata dicendo che è conseguenza di differenza di cubi..
Effettivamente ho ritrovato poi la cosa anche in rete su altri link... Il prof afferma che è quello il punto di partenza e che la svolta sta nel fatto che al numeratore resti soltanto 1... ma io non ci vedo nessun input risolutivo... Ho l'esame il 2 di febbraio speriamo bene...
E' una regola che ha dato il prof, l'ha giustificata dicendo che è conseguenza di differenza di cubi..
Effettivamente ho ritrovato poi la cosa anche in rete su altri link... Il prof afferma che è quello il punto di partenza e che la svolta sta nel fatto che al numeratore resti soltanto 1... ma io non ci vedo nessun input risolutivo... Ho l'esame il 2 di febbraio speriamo bene...
La formula usata è la seguente:
[tex]$(a\pm b)=(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^3})$[/tex]
che si dovrebbe conoscere sin dai tempi delle "razionalizzazioni". In effetti usandola puoi immediatamente concludere quali sono i valori buoni: infatti la disequazione diventa
[tex]$\frac{1}{\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}}>0,001$[/tex]
Ora, visto che [tex]$n+3>n+2$[/tex] segue che
[tex]$\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}>3\sqrt[3]{(n+2)^2}$[/tex]
e anche
[tex]$\frac{1}{\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}}<\frac{1}{3\sqrt[3]{(n+2)^2}}$[/tex]
e infine
[tex]$10^{-3}=0,001<\frac{1}{3\sqrt[3]{(n+2)^2}}$[/tex].
Questa disequazione equivale a [tex]$3\sqrt[3]{(n+2)^2}<10^3$[/tex] da cui
[tex]$(n+2)^2<\frac{10^9}{27}\ \Leftrightarrow\ n+2<\frac{10^4}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 6085$[/tex]
e quindi la soluzione $n<6083$.
[tex]$(a\pm b)=(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^3})$[/tex]
che si dovrebbe conoscere sin dai tempi delle "razionalizzazioni". In effetti usandola puoi immediatamente concludere quali sono i valori buoni: infatti la disequazione diventa
[tex]$\frac{1}{\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}}>0,001$[/tex]
Ora, visto che [tex]$n+3>n+2$[/tex] segue che
[tex]$\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}>3\sqrt[3]{(n+2)^2}$[/tex]
e anche
[tex]$\frac{1}{\sqrt[3]{(n+3)^2}+\sqrt[3]{(n+3)(n+2)}+\sqrt[3]{(n+2)^2}}<\frac{1}{3\sqrt[3]{(n+2)^2}}$[/tex]
e infine
[tex]$10^{-3}=0,001<\frac{1}{3\sqrt[3]{(n+2)^2}}$[/tex].
Questa disequazione equivale a [tex]$3\sqrt[3]{(n+2)^2}<10^3$[/tex] da cui
[tex]$(n+2)^2<\frac{10^9}{27}\ \Leftrightarrow\ n+2<\frac{10^4}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 6085$[/tex]
e quindi la soluzione $n<6083$.
Oddio, hai ragione, mi stavo confondendo con la differenza di quadrati :D
:D
Grande Campix
senti però una cosa io la regola generale derivante da differenza di cubi l'ho capito ma non mi è chiaro come sia andata a finire al denominatore: ha semplicemente razionalizzato?
senti però una cosa io la regola generale derivante da differenza di cubi l'ho capito ma non mi è chiaro come sia andata a finire al denominatore: ha semplicemente razionalizzato?
Sì, ho "antirazionalizzato" (cioè, invece di togliere le radici al denominatore ho fatto in modo che vi apparissero).
Grazie Champix...Visto che sei molto preparato mi propongo altri esercizi che ho già fatto per vedere se ci torna lo stesso risultato:
Studiare il carattere della serie
$ sum_(n = 1)^( oo )(n(e^(1/n)-1-1/n) $
Studiare il carattere della serie
$ sum_(n = 1)^( oo )(n(e^(1/n)-1-1/n) $
Grande Campix
Grazie Champix:-D
ahahahhaha il fatto è che non mi ricordo quando poi rispondo il nome dell'utente.... Che poi tra parentesi Champix è un farmaco che ho usato per smettere di fumare... chissà se c'entra qualcosa con il nome del nostro amico... boh...
Che poi tra parentesi Champix è un farmaco che ho usato per smettere di fumare... chissà se c'entra qualcosa con il nome del nostro amico... boh...
"Danielking":
Grazie Champix...Visto che sei molto preparato mi propongo altri esercizi che ho già fatto per vedere se ci torna lo stesso risultato:
Studiare il carattere della serie
$ sum_(n = 1)^( oo )(n(e^(1/n)-1-1/n) $
Eh sì... un minimo di preparazione ce l'ho. E su questo non posso aiutarti fino a lunedì... visto che ne ho dato uno simile in un homeworks per i miei studenti e che rischierei di dare delle dritte per risolverlo!
ok CIAMPIX ( a andiamo che l'ho scritto bene 
) intanto ti abbozzo una soluzione così mi dici perchè mi blocco:
1) vediamo come si comporta il termine generale della serie:
lim n->oo $ n . (1/n)((e^{(1/n)-1)/(1/n) -1} $ = $ ln e -1 $
2) allora dato che il termine generale tende a 0 la serie potrebbe convergere.
3) non so che criterio applicare perchè
. criterio del rapporto mi porta ad una forma indeterminata del tipo 0/0 che riesco a sciogliere tramite De L'Hospital ma il prof non vuole questo criterio per le successioni
. criterio della radice mi porta alla forma indeterminata zero alla zero e stesso discorso di sopra
. confronto asintotico non c'è nessuna serie notevole che mi si addice
che si fa?
) intanto ti abbozzo una soluzione così mi dici perchè mi blocco:1) vediamo come si comporta il termine generale della serie:
lim n->oo $ n . (1/n)((e^{(1/n)-1)/(1/n) -1} $ = $ ln e -1 $
2) allora dato che il termine generale tende a 0 la serie potrebbe convergere.
3) non so che criterio applicare perchè
. criterio del rapporto mi porta ad una forma indeterminata del tipo 0/0 che riesco a sciogliere tramite De L'Hospital ma il prof non vuole questo criterio per le successioni
. criterio della radice mi porta alla forma indeterminata zero alla zero e stesso discorso di sopra
. confronto asintotico non c'è nessuna serie notevole che mi si addice
che si fa?
Veramente si chiama ciampax
Danielking..... FAIL!
che significa ho sbagliato tutto?
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo