Segno di questa funzione

[mircosam]

salve a tutti, il segno di questa funzione ( $ 1/6 log (|x^2-2|/(x^2+1))$) è tutta positiva?? io l' ho studiata scomponendo il valore assoluto

[Brancaleone1]

Posta i tuoi conti, così possiamo aiutarti.

[mircosam]

per $x^2-2>0$ ottengo $-sqrt(3)sqrt(3)$
Unendo le due soluzioni ottengo $+++++ (-sqrt(3)) ++++++ sqrt(3) +++++$

[Brancaleone1]

"mircosam":per $x^2-2>0$ ottengo $-sqrt(3)sqrt(3)$
Unendo le due soluzioni ottengo $+++++ (-sqrt(3)) ++++++ sqrt(3) +++++$

$?!$

$f(x)=1/6ln(|x^2-2|/(x^2+1))$

$=> f(x)>=0 <=> |x^2-2|/(x^2+1) >=1$

*Per $x^2-2>=0 => x<=-sqrt2 cup x>=sqrt2$:

$(x^2-2)/(x^2+1)>=1 => -3/(x^2+1)>=0$ $...$

*Per $x^2-2<0 => -sqrt2 < x < sqrt2$:

$(2-x^2)/(x^2+1)>=1 => (1-2x^2)/(x^2+1)>=0$ $...$

Il problema del segno è praticamente risolto

[mircosam]

e $1/6$ non lo considero??

[Noisemaker]

quello che devi fare è risolvere la disequazione
\begin{align}
\frac{1}{6}\ln\left(\frac{|x^2-2|}{x^2+1}\right)\ge0
\end{align}
che equivale al sistema :
\begin{align}
\begin{cases} \frac{|x^2-2|}{x^2+1}>0\\\frac{|x^2-2|}{x^2+1}\ge1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\pm\sqrt2\\\\\frac{|x^2-2|}{x^2+1}\ge1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\pm\sqrt2\\\\
\begin{cases}\frac {x^2-2-x^2-1 }{x^2+1}\ge0\\x<-\sqrt 2\cup x>\sqrt 2\end{cases}\,\,\,\cup\,\,\, \begin{cases}\frac {-x^2+2-x^2-1 }{x^2+1}\ge0\\ -\sqrt 2 \end{align}

[Plepp]

@mircosam: il $"log"$ è negativo quando e solo quando il suo argomento sta tra $0$ e $1$ (estremi esclusi).

Quando $x^2-2>0$ hai evidentemente
\[|x^2-2|=x^2-2< x^2+1\]
e quindi
\[\dfrac{x^2-2}{x^2+1}< 1\]
e di conseguenza il log è negativo.

Nell'intervallo in cui $x^2-2$ è negativa (ovvero $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$) la disuguaglianza
\[|x^2-2|=2-x^2\ge x^2+1\]
(ovvero $(2-x^2)/(x^2+1)\ge 1$) è verificata se e solo se
\[1\ge 2x^2\]
cioè per $x\in [-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}]\subseteq (-\sqrt{2},\sqrt{2})$. In tale intervallo il logaritmo è positivo; nel resto dell'intervallo $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ il log è negativo.

Per quale motivo dovresti considerare $1/6$?

[mircosam]

a me risulta negativo nell' intervallo $ [-sqrt(1/2),sqrt(1/2)]$

[Plepp]

Posta i calcoli, sennò è inutile parlarne.