Se io dico..
se io dico:
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile su un intervallo qualsiasi(c'è bisogno di specificarlo)?
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile su un intervallo qualsiasi(c'è bisogno di specificarlo)?
Risposte
credo di no, non è continua
p.s. tra due numeri irrazionali ce ne è sempre uno razionale
secondo riemann non è integrabile... secondo lebesgue è integrabile e l'integrale è pari alla misura dell'intervallo stesso di integrazione. c'è bisogno di specificare su quale intervallo poiché il valore dell'integrale varia a seconda dell'intervallo che scegli ed è infinito (dunque la funzione non è integrabile) se consideri un intervallo non limitato (tutto $RR$ ad esempio)
questa è la funzione di dericlet (o cmq no so ocme si scrive)...
c'è un teorema che dice che una funzione è integrabile (nel senso di rieman) vabbè o se è continua (e questo è banale) oppure se essa presenta al più una infinità numerabile di discontinuità. se non ricordo male, con una muvida tsrana, qualcuno ha dimostrato che Q è numerabile (mettendo in una tabella infinita N*N tutti i numeri naturali e seguendo un percorso continuo che toccasse tutte le caselle una sola volta (ovviamente una casella rappresenta un numero Q). quindi direi che secondo me le funzione sia riemann integrabile e l'area sottesa dalla funzione in un intervallo sarà uguale all'area sottesa in quell'intervallo dalla funzione y=1 (cmq alla fine R è mooolto più potente di Q e togliere Q da R non dovrebbe cambiare un granchè). ora magari ho detto un mucchio di cazzate, la mia non è legge anche perchè in analisi A ho preso 19 2 mesi fa, quindi se qualche luminare ben più potente di me vuole spegnermi lo può fare tranquillamente
c'è un teorema che dice che una funzione è integrabile (nel senso di rieman) vabbè o se è continua (e questo è banale) oppure se essa presenta al più una infinità numerabile di discontinuità. se non ricordo male, con una muvida tsrana, qualcuno ha dimostrato che Q è numerabile (mettendo in una tabella infinita N*N tutti i numeri naturali e seguendo un percorso continuo che toccasse tutte le caselle una sola volta (ovviamente una casella rappresenta un numero Q). quindi direi che secondo me le funzione sia riemann integrabile e l'area sottesa dalla funzione in un intervallo sarà uguale all'area sottesa in quell'intervallo dalla funzione y=1 (cmq alla fine R è mooolto più potente di Q e togliere Q da R non dovrebbe cambiare un granchè). ora magari ho detto un mucchio di cazzate, la mia non è legge anche perchè in analisi A ho preso 19 2 mesi fa, quindi se qualche luminare ben più potente di me vuole spegnermi lo può fare tranquillamente
hahaha ok, il post di kroldar mi ha fatto capiure che ho detto una cazzata. però mi spiegate dov'è il fallo? io me lo ricordo abbastanza nitidamente il teorema dell'infinità numerabile delle discontinuità..
"giacor86":
qualcuno ha dimostrato che Q è numerabile (mettendo in una tabella infinita N*N tutti i numeri naturali e seguendo un percorso continuo che toccasse tutte le caselle una sola volta (ovviamente una casella rappresenta un numero Q
quel qualcuno si chiama Georg Cantor e ha dimostrato la numerabilità di $QQ$ con il cosiddetto "argomento diagonale"
ecco mi sfuggiva il nome 
:D:D:D:D:D:D:D cmq spiegami dove ho ciccato nel mio discorso :D
:D:D:D:D:D:D:D cmq spiegami dove ho ciccato nel mio discorso :D
vedi giacor, le teoria dell'integrazione secondo Lebesgue non distingue tra funzioni coincidenti quasi ovunque (q.o.). quindi la funzione costantemente uguale a $1$ e la funzione di Dirichlet non sono diverse ai fini dell'integrazione secondo Lebesgue. Ricordo che una proprietà è verificata q.o. in un certo insieme, se il sottoinsieme in cui essa non è verificata ha misura nulla secondo Lebesgue
per spiegare la tua falla ti faccio notare che la funzione di Dirichlet vale 1 quasi ovunque, quindi secondo Lebesgue è integrabile... non lo è secondo Riemann invece
per spiegare la tua falla ti faccio notare che la funzione di Dirichlet vale 1 quasi ovunque, quindi secondo Lebesgue è integrabile... non lo è secondo Riemann invece
il fatto è che le discontinuità non sono numerabili
vero?
vero?
si è vero... eppure io ho sto strano ricordo che le discontinuità numerabili non influivano neanche per riemann.. dove sbaglio?!?!?!?!
aspe giacor... il fatto che la funzione sia nulla quasi ovunque non vuol dire che abbia una quantità numerabile di discontinuità... essa è discontinua ovunque, come ha già detto eafkuor
si ma se Q è numerabile, allora è discontinua un numero infinito ma numerabile di volte. e questo punto scatta il teorema che studiai circa 3 o 4 mesi fa. che dice che una funzione è riemann integrabile se al più discontinua un numero inifinito ma numerabile di volte... boh ricorderò male il teorema..
"giacor86":
si ma se Q è numerabile, allora è discontinua un numero infinito ma numerabile di volte. e questo punto scatta il teorema che studiai circa 3 o 4 mesi fa. che dice che una funzione è riemann integrabile se al più discontinua un numero inifinito ma numerabile di volte... boh ricorderò male il teorema..
no, il teorema è corretto
il fatto è che come ho detto tra due numeri irrazionali ce ne è sempre uno razionale, quindi le discontinuità sono infinite non numerabili
no giacor non ricordi male... vorrei però spiegarti che la funzione è discontinua ovunque, poiché nei punti dove vale 1 (che sono un'infinità non numerabile) la funzione non è continua
"Kroldar":
aspe giacor... il fatto che la funzione sia nulla quasi ovunque non vuol dire che abbia una quantità numerabile di discontinuità... essa è discontinua ovunque, come ha già detto eafkuor
ma la quantità delle discontinuità non è uguale a quella dei razionali nell'intervallo che sono numerabili?
ah peso... capisco.. certo però chè strano.... no? cioè uno pensa alla retta y=1, da questa ci toglie un infinità numerabile di punti (o meglio, li abbassa) e uno si aspetta di lasciare altrettanti buchi, e invece no. i buchi sono non numerabili. what mistery!
no giacor... i punti in cui vale 0 la funzione sono numerabili, ma questi punti non sono gli unici punti in cui la funzione non è continua. il problema sta nell'aver ben chiara la definzione di continuità... un esperto di topologia (non certo io) te lo spiegherebbe bene. mi rendo conto che non è un concetto semplicissimo e anch'io all'inizio mi trovai spiazzato al pari di te
"giacor86":
ah peso... capisco.. certo però chè strano.... no? cioè uno pensa alla retta y=1, da questa ci toglie un infinità numerabile di punti (o meglio, li abbassa) e uno si aspetta di lasciare altrettanti buchi, e invece no. i buchi sono non numerabili. what mistery!
I punti che rimangono su sono discontinui e non numerabili
la funzione di Dirichlet è discontinua ovunque.
dimostrazione:
Sia $qinQ$, mostriamo che è discontinua in q. Basta considerare una successione $a_n$ che tende a $q$ assumendo solo valori irrazionali (essa esiste per densità). Per cui $D(q)=1$ ma $lim_{n->infty}D(a_n)=0$. Analogamente se $qinR-Q$ sfruttando la densità di $R-Q$.
Per curiosità:
Una funzione monotona e limitata è R-integrabile.
dimostrazione:
Sia $qinQ$, mostriamo che è discontinua in q. Basta considerare una successione $a_n$ che tende a $q$ assumendo solo valori irrazionali (essa esiste per densità). Per cui $D(q)=1$ ma $lim_{n->infty}D(a_n)=0$. Analogamente se $qinR-Q$ sfruttando la densità di $R-Q$.
Per curiosità:
Una funzione monotona e limitata è R-integrabile.
"ubermensch":
la funzione di Dirichlet è discontinua ovunque.
dimostrazione:
oh, finalmente
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