Se io dico..
se io dico:
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile su un intervallo qualsiasi(c'è bisogno di specificarlo)?
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile su un intervallo qualsiasi(c'è bisogno di specificarlo)?
Risposte
grazie uber... dimostrazione chiarissima
prego
quindi non si può far corrispondere biunivocamente le discontinuità ai numeri razionali...eppure sembrerebbe così
certo che no! il problema è che quando stacchi i razionali dalla retta y=1, quello che ti rimane sulla retta è discontinuo
vabbè, vediamo se riesco a fugare i miei dubbi, se staccassi un solo razionale avrei uno ed un solo punto di discontinuità, se ne stacco due ne ho due, se ne stacco tre, tre e così via: perchè le discontinuità si moltiplicano?
perchè i razionali sono densi!! se ad esempio staccassi dalla retta tutti i punti della forma $1/n,ninN$, allora avresti una inifinità numerabile di discontinuità.
che sono densi vuol dire che dati dua numeri razionali ne esiste sempre un altro, quindi i razionali non sono numerabili
boh?! qualcosa non mi torna
qualcuno ha dimostrato che Q è numerabile (mettendo in una tabella infinita N*N tutti i numeri naturali e seguendo un percorso continuo che toccasse tutte le caselle una sola volta (ovviamente una casella rappresenta un numero Q)
quel qualcuno si chiama Georg Cantor e ha dimostrato la numerabilità di $QQ$ con il cosiddetto "argomento diagonale"
boh?! qualcosa non mi torna
attento un sottoinsieme denso può essere benissimo numerabile...
"amel":
attento un sottoinsieme denso può essere benissimo numerabile...
ma quindi è possibile che le discontinuità in questione siano dense numerabili e per questo non si può integrare la funzione di dirichlet secondo riemann, perchè sono dense oltre che numerabili!? se fossero state solo numerabili ma non dense allora sarebbe stato possibile
Sinceramente non ho capito la tua domanda, comunque la funzione di Dirichlet non è continua in alcun punto... Altrimenti se fosse continua nei punti non razionali, sarebbe continua quasi dappertutto e quindi Riemann-integrabile.
"amel":
Sinceramente non ho capito la tua domanda, comunque la funzione di Dirichlet non è continua in alcun punto... Altrimenti se fosse continua nei punti non razionali, sarebbe continua quasi dappertutto e quindi Riemann-integrabile.
la mia domanda è sostanzialmente se l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione è denso anche se numerabile implica che la funzione è discontinua dapertutto e quindi non è riemann integrabile? mentre una funzione riemann integrabile può ammettere solo insieme dei punti di discontinuità numerabile ma non denso.
direi di sì, ma non sono sicuro al 100 percento, lascio ad altri più autorevoli la risposta.
esatto Guillame: l'integrale di Riemann ha sostanzialmente due grossi difetti:
1) impazzisce quando le discontinuità sono causate da insiemi densi. L'esempio che ho messo ($f(x)=0$ se $x=1/n,n\inN$,$f(x)=1$ altrove in (0,1)) mostra come funzioni definite su intervalli limitati e discontinue su una infinità numerabili di punti siano R-integrabili.
2) per passare al limite sotto il segno di integrale l'integrale di riemann necessita della convergenza uniforme e non gli basta quella puntuale (è facile pensare la D di Dirichlet come limite puntuale di una successione di funzioni tutte R-integrabili).
1) impazzisce quando le discontinuità sono causate da insiemi densi. L'esempio che ho messo ($f(x)=0$ se $x=1/n,n\inN$,$f(x)=1$ altrove in (0,1)) mostra come funzioni definite su intervalli limitati e discontinue su una infinità numerabili di punti siano R-integrabili.
2) per passare al limite sotto il segno di integrale l'integrale di riemann necessita della convergenza uniforme e non gli basta quella puntuale (è facile pensare la D di Dirichlet come limite puntuale di una successione di funzioni tutte R-integrabili).
ti ringrazio della risposta uber, ora capisco perchè qnd feci analisi 1, il prof mi tolse punti quando ad una domanda ho risposto f è integrabile secondo riemann $<=>$ f è continua, cmq non era poi un errore tanto grave..visto che non avevamo distinto i due tipi d'integrazione secondo riemann e secondo lebesgue e quindi non potevo saperlo 
"GuillaumedeL'Hopital":
ora capisco perchè qnd feci analisi 1, il prof mi tolse punti quando ad una domanda ho risposto f è integrabile secondo riemann $<=>$ f è continua, cmq non era poi un errore tanto grave..visto che non avevamo distinto i due tipi d'integrazione secondo riemann e secondo lebesgue e quindi non potevo saperlo
Veramente l'affermazione secondo cui "f è Riemann-integrabile $<=>$ f è continua" è sbagliata a prescindere dal resto (leggi: dalla teoria integrale di Lebesgue). Se pertanto il tuo prof ti ha levato dei punti per via di quella tua risposta, non c'è dubbio che abbia fatto più che bene. Al posto suo, probabilmente, io ti avrei bocciato. Perciò ritieniti più che fortunato. Anzi vallo a ringraziare, se ti trovi a capitar da quelle parti...
eehh esagerato tutti possono sbagliare, del resto un'implicazione è valida, l'altra no...
addirittura da bocciare?per una risposta sola?
cmq concordo con amel una implicazione è giusta, l'altra quasi, in quanto esclude solo i casi di funzioni con discontinuità numerabili(cosa non trattata sufficientemente bene a lezione)
cmq concordo con amel una implicazione è giusta, l'altra quasi, in quanto esclude solo i casi di funzioni con discontinuità numerabili(cosa non trattata sufficientemente bene a lezione)
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