Scrivere un dominio in coordinate cilindriche

[nasmil]

Salve ragazzi ho il seguente dominio da scrivere in coordinate cilindriche, vorrei avere qualche suggerimento da parte vostra.
Il dominio è:
$ E = {(x,y,z) : x^2+y^2<=1 , y<= 0 , -1 <= z <= 1-y} $

Da trasformare in coordinate cilindriche:
l'angolo lo chiamerò "th", il raggio "r", z rimane z.

Per quel che ho fatto io, ho trasformato tutto in funzione della variabile $ r $ per cui ho ottenuto:
$ pi <= th <= 2pi $ ossia l'angolo che varia fra pigreco e 2pigreco.
$ -1/(senth) <= r <= 1 $ la variabile "ro" ossia il raggio
$ -1 <= z <= 1-rosenth $ che indica la variabilità di zeta

Vorrei sapere se è corretto e se ho commesso degli errori: purtroppo i domini in tre variabili sono difficili certe volte

[quantunquemente]

non si deve mettere tutto in funzione di una sola variabile
direi
$r in [0,1];theta in [pi,2pi];z in [-1,1-rsentheta]$

[nasmil]

"quantunquemente":non si deve mettere tutto in funzione di una sola variabile
direi
$r in [0,1];theta in [pi,2pi];z in [-1,1-rsentheta]$

Quindi solo r dovevo mettere tra 0 ed 1, posso sapere perché e perché sbaglio a metterlo fra -1/senth e 1?
Grazie

[quantunquemente]

innanzitutto,non riesco a capire da dove ti sia uscito $-1/(sentheta)$
poi,ove abbia senso,$-1/(sentheta)geq1$ per $theta in [pi,2pi]$
e per tagliare la testa al toro, dovendo coprire tutto il cerchio $x^2+y^2leq1$,$r$ e $theta$ sono ovviamente indipendenti

[nasmil]

"quantunquemente":innanzitutto,non riesco a capire da dove ti sia uscito $-1/(sentheta)$
poi,ove abbia senso,$-1/(sentheta)geq1$ per $theta in [pi,2pi]$
e per tagliare la testa al toro, dovendo coprire tutto il cerchio $x^2+y^2leq1$,$r$ e $theta$ sono ovviamente indipendenti

Essendo y <= 0 l'ho scritto come $ rosenth <= 0 $ per cui $ ro >= -1/senth $

$ th [pi,2pi] $ invece va bene?

[quantunquemente]

sei sicuro che $rsenthetaleq0$ equivalga a $rgeq-1/(sentheta)$ ?

la condizione $yleq0$ l'hai già imposta scrivendo $theta in [pi,2pi]$

[nasmil]

"quantunquemente":sei sicuro che $rsenthetaleq0$ equivalga a $rgeq-1/(sentheta)$ ?

la condizione $yleq0$ l'hai già imposta scrivendo $theta in [pi,2pi]$

Guarda, non sono sicuro perché ho chiesto qui ed era proprio il mio dubbio
Detto questo a volte $ ro $ viene scritta in funzione del seno o del coseno appunto, come posso capire quando fare così oppure renderlo sempre compreso tra numeri?

ps: Posso postare sempre in questo thread un altro dominio da scrivere in coordinate sferiche stavolta?