Scrivere formula con Simboli di Landau
Buonasera a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto in una questione che mi sta turbando enormemente. Ho un problema con i simboli di Landau. Non riesco a capire come si fa a scrivere una formula con questi simboli.
Il professore sovente a lezione fa trasformazioni del genere: \( \sin (t)=t+o(t) \) con (t→0).
Ho compreso il concetto generale degli O-grandi e o-piccoli ma non riesco a capire come trasformare le equazioni per poi risolvere i limiti.
Spero di essere stato il più chiaro possibile.
Ringrazio anticipatamente dell'attenzione.
Marco Dutto
Avrei bisogno del vostro aiuto in una questione che mi sta turbando enormemente. Ho un problema con i simboli di Landau. Non riesco a capire come si fa a scrivere una formula con questi simboli.
Il professore sovente a lezione fa trasformazioni del genere: \( \sin (t)=t+o(t) \) con (t→0).
Ho compreso il concetto generale degli O-grandi e o-piccoli ma non riesco a capire come trasformare le equazioni per poi risolvere i limiti.
Spero di essere stato il più chiaro possibile.
Ringrazio anticipatamente dell'attenzione.
Marco Dutto
Risposte
Semplicemente per la definizione di o-piccolo ottieni che : \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t) - t}{t} = 0 \)
In altre parole la funzione \(\displaystyle \sin(t) - t \) cresce più lentamente di \(\displaystyle t \).
In generale, sempre per definizione di o-piccolo, se hai \(\displaystyle f(x) = g(x) + o(h(x)) \) per \(\displaystyle x \to x_0 \) questo significa che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-g(x)}{h(x)} = 0\)
In altre parole la funzione \(\displaystyle \sin(t) - t \) cresce più lentamente di \(\displaystyle t \).
In generale, sempre per definizione di o-piccolo, se hai \(\displaystyle f(x) = g(x) + o(h(x)) \) per \(\displaystyle x \to x_0 \) questo significa che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-g(x)}{h(x)} = 0\)
La relazione che hai scritto come esempio è una conseguenza diretta del Teorema di Taylor (precisamente è lo sviluppo di Taylor della funzione \( \sin{t} \) arrestata al primo ordine), ne avete già parlato?
"MartZeta":
Semplicemente per la definizione di o-piccolo ottieni che : \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t) - t}{t} = 0 \)
In altre parole la funzione \(\displaystyle \sin(t) - t \) cresce più lentamente di \(\displaystyle t \).
In generale, sempre per definizione di o-piccolo, se hai \(\displaystyle f(x) = g(x) + o(h(x)) \) per \(\displaystyle x \to x_0 \) questo significa che \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-g(x)}{h(x)} = 0\)
Grazie MartZeta ma io cercavo una spiegazione con delle regole più generali. Chiedo a voi perchè sono uno studente lavoratore e perciò non ho tempo di correre all' Università.
@Epimenide93 Non abbiamo ancora parlato di Taylor e mi fa strano che i professori utilizzino argomenti che non hanno ancora spiegato.
Per definizione hai che:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{\prime}(x_0) \)
Equivalentemente:
\(\displaystyle f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0) \)
Questa relazione esprime\coincide con lo sviluppo di Taylor di \( f(x) \) intorno a \( x_0 \) arrestato al primo ordine (stai approssimando localmente una funzione con un polinomio di primo grado; se vuoi puoi vederlo come un "indizio" del fatto che con gradi superiori sia possibile fare di meglio); questa relazione discende immediatamente dalla definizione di derivata, dunque è possibile che a lezione l'abbiate introdotta senza accennare al teorema di Taylor (ed è anche giusto dal momento che questa è solo la punta dell'iceberg). Le stime fatte con gli "o piccolo" nel calcolo dei limiti spesso discendono da questa relazione (come nel tuo esempio).
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{\prime}(x_0) \)
Equivalentemente:
\(\displaystyle f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0) \)
Questa relazione esprime\coincide con lo sviluppo di Taylor di \( f(x) \) intorno a \( x_0 \) arrestato al primo ordine (stai approssimando localmente una funzione con un polinomio di primo grado; se vuoi puoi vederlo come un "indizio" del fatto che con gradi superiori sia possibile fare di meglio); questa relazione discende immediatamente dalla definizione di derivata, dunque è possibile che a lezione l'abbiate introdotta senza accennare al teorema di Taylor (ed è anche giusto dal momento che questa è solo la punta dell'iceberg). Le stime fatte con gli "o piccolo" nel calcolo dei limiti spesso discendono da questa relazione (come nel tuo esempio).
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