Scoposizione fratti semplici e integrale generalizzato

[ale_kitchen02]

Ciao a tutti, sto provando a utilizzare la scomposizione in fratti semplici per

$1/((1+x^2)^2)$

ma in tutti i modi che ho provato a svolgerlo il risultato non torna

volevo inoltre chiedervi se poteste darmi una mano con il seguente esercizio sugli integrali generalizzati

"per quali valori di $\alpha>=0$ esiste finito $\int_0^\(+infty)1/x^\alphadx$"

-$iff$ $\alpha<1$
-per nessun $\alpha>=0$
-$iff$ $\alpha=0$
-$iff$ $\alpha>1$

Per quanto riguarda il caso a $\+infty$ ho trovato che l'integrale non è definito per nessun $\alpha>=0$, il mio dubbio sorge nel caso per $x->0$ dove trovo che l'integrale esiste finito per $\alpha<1$

grazie a tutti

[Mephlip]

"ale_kitchen02":ma in tutti i modi che ho provato a svolgerlo il risultato non torna

Non ti torna perché quella funzione è già scomposta in fratti semplici.

"ale_kitchen02":Per quanto riguarda il caso a $+\infty$ ho trovato che l'integrale non è definito per nessun $\alpha\ge 0$

Dato che hai sia un estremo di integrazione illimitato, sia una funzione integranda illimitata in un intorno destro di $0$ se $\alpha>0$, gli integrali impropri di quel tipo sono definiti così:
$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\text{d}x=\int_0^c\frac{1}{x^\alpha}\text{d}x+\int_c^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\text{d}x$$
E si dimostra che la definizione è indipendente dalla scelta di $c$. Quindi devi spezzarlo in due intervalli. Perciò, non so come hai studiato il caso per $x \to +\infty$. Considera che l'integrale in $[c,+\infty[$ converge per $\alpha>1$, quindi dovresti scriverci i tuoi passaggi perché la conclusione che hai riportato per $x\to+\infty$ è errata.

[pilloeffe]

Ciao ale_kitchen02,

"ale_kitchen02":ma in tutti i modi che ho provato a svolgerlo il risultato non torna

A parte il fatto che naturalmente ha ragione Mephlip e la funzione è già scomposta in fratti semplici, quindi è inutile cercare altre scomposizioni, credo che tu in realtà sia interessato a determinare l'integrale seguente:

$\int_0^{+\infty} 1/((1+x^2)^2) \text{d}x $

Si vede subito che tale integrale converge e non è neanche difficile determinare quanto vale, infatti si ha:

$\int 1/((1+x^2)^2) \text{d}x = 1/2 (x/(1 + x^2) + arctan x) + c $

Sicché si ha:

$\int_0^{+\infty} 1/((1+x^2)^2) \text{d}x = [1/2 (x/(1 + x^2) + arctan x)]_0^{+\infty} = \pi/4 $

Per quanto concerne la domanda sull'integrale improprio, dato che ovviamente l'integrale proposto non può convergere per $\alpha = 0 $ (quindi la terza risposta è da escludere), dei due integrali che ti ha già scritto Mephlip quello all'infinito converge per $\alpha > 1$, l'altro per $\alpha < 1 $, il che esclude la prima e l'ultima risposta, sicché l'unica corretta non può che essere la seconda.