Scomposizione in fratti semplici

[stdio93]

Buongiorno a tutti, mi trovo qui al culmine di due giorni di penare sul calcolo di un'anti-trasformata Zeta. Ad un certo punto mi trovo con la quantità: $ z^3/((z-1)^2(z+1)) $ da antitrasformare. Seguendo la linea della soluzione proposta dal professore decido dunque di procedere con la decomposizione in fratti semplici, per ottenere qualcosa di conosciuto sulla tabella delle trasformate. Il problema che si presenta ora è che non ricordo più come si fa la decomposizione. Cercando sui libri, nel web ecc. trovo metodi ad hoc e puri esempi. Sapreste fornirmi una metodologia generale per procedere? Magari anche un link che rimandi ad essa...
Grazie

[ultrasnapoli87]

Per quanto riguarda la scomposizione posso aiutarti

$ z^3/((z-1)^2(z+1)) = D+\frac{A}{(z-1)^{2}}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{z+1}$

dove il termine D viene insierito soltanto se il grado del numeratore è maggiore o uguale di quello del denominatore, quindi facendo il rapporto tra i termini di grado massimo abbiamo che $ D=1 $. Ora per calcolare A,B,C

$A=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)^{2}\frac{z^3}{(z+1)(z-1)^2}=\frac{1}{2} $

$ B=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{d}{dz}\frac{z^3}{z+1}=\frac{5}{4}$

$ C=\lim_{z\rightarrow -1}(z+1)\frac{z^3}{(z+1)(z-1)^2}=-\frac{1}{4} $

quindi alla fine il tutto si riduce a

$ F(z)=1+ \frac{1/2}{(z-1)^2}+\frac{5/4}{z-1}-\frac{1/4}{z+1} $

Comunque guarda questi video che possono esserti di grande aiuto, segui la lezione 20 21 22

https://www.youtube.com/watch?v=6cDhWE2 ... 41779D537B

[stdio93]

Ringrazio tutti per l'aiuto. Ho guardato e trovato utilissime le videolezioni! Una domanda però:

"elmachico":

$ B=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{d}{dz}\frac{z^3}{z+1}=\frac{5}{4} $

Questa che usi è una formula generale, o e ad hoc per un caso specifico?

[ultrasnapoli87]

stdio se hai guardato le videolezioni è strano che tu mi faccia una domanda del genere. La lezione 21 è interamente dedicata ai poli multipli!!!! Su un pò di impegno