Salve a tutti.Studio di questo integrale improprio...
L'integrale in questione è:
[tex]\int_{0}^{+\infty}\frac{x\sqrt{1+x}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha }[/tex]
Il quesito è studiare per ogni valore di alpha la convergenza dell'integrale.Non ho mai fatto esercizi di questo tipo...qualcuno può aiutarmi?Magari facendomi capire come risolvere gli esercizi di questo genere...grazie in anticipo...se possibile svolgerlo passo per passo...grazie del vostro tempo e della cortesia...
[tex]\int_{0}^{+\infty}\frac{x\sqrt{1+x}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha }[/tex]
Il quesito è studiare per ogni valore di alpha la convergenza dell'integrale.Non ho mai fatto esercizi di questo tipo...qualcuno può aiutarmi?Magari facendomi capire come risolvere gli esercizi di questo genere...grazie in anticipo...se possibile svolgerlo passo per passo...grazie del vostro tempo e della cortesia...
Risposte
Per [tex]$x \to +\infty$[/tex] la tua funzione integranda dovrebbe essere asintoticamente equivalente a [tex]$\frac{x\sqrt{x}}{x^{2\alpha} }$[/tex].
Che teoremi conosci sugli integrali generalizzati?
Che teoremi conosci sugli integrali generalizzati?
Noi usiamo confronto asintotico e criterio degli infinitesimi...però non capisco come faccio a dire che fa circa quella roba...cioè escludi alcune potenze...in che modo?...grazie...
Prova tu stesso a verificare che il seguente limite vale [tex]$1$[/tex]:
[tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\frac{x\sqrt{x}}{x^{2\alpha} }}$[/tex]
laddove [tex]$f(x)$[/tex] è la funzione integranda.
[tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\frac{x\sqrt{x}}{x^{2\alpha} }}$[/tex]
laddove [tex]$f(x)$[/tex] è la funzione integranda.
si sono d'accordo ma come faccio a trovare la funzione con la quale confrontarla?
Innanzitutto, è evidente che per [tex]$\alpha \leq 0$[/tex] l'integrale non converge; quindi basta guardare cosa succede per [tex]$\alpha >0$[/tex].
Procediamo così: è evidente che l'unico punto in cui abbiamo problemi è [tex]$+\infty$[/tex], quindi andiamo a vedere come si comporta l'integrando in [tex]$+\infty$[/tex].
Nella parentesi al denominatore l'infinito d'ordine maggiore è [tex]$x^2$[/tex], quindi mettendo un po' in evidenza troviamo:
[tex]$\frac{x\sqrt{x+1}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha} =\frac{x^{1+\frac{1}{2}} \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x^{2\alpha} (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)^\alpha}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}\ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)^\alpha}$[/tex];
il secondo fattore all'ultimo membro ha limite finito (ed [tex]$=1$[/tex]) in [tex]$+\infty$[/tex], ergo non influenza l'andamento asintotico dell'integrando, il quale andamento dipende unicamente dal fattore [tex]$\tfrac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}$[/tex].
Conseguentemente:
[tex]$\frac{x\sqrt{x+1}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha}\approx \frac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}$[/tex]
e l'ultima funzione è sommabile solo se l'esponente è [tex]$>1$[/tex].
Procediamo così: è evidente che l'unico punto in cui abbiamo problemi è [tex]$+\infty$[/tex], quindi andiamo a vedere come si comporta l'integrando in [tex]$+\infty$[/tex].
Nella parentesi al denominatore l'infinito d'ordine maggiore è [tex]$x^2$[/tex], quindi mettendo un po' in evidenza troviamo:
[tex]$\frac{x\sqrt{x+1}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha} =\frac{x^{1+\frac{1}{2}} \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x^{2\alpha} (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)^\alpha}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}\ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)^\alpha}$[/tex];
il secondo fattore all'ultimo membro ha limite finito (ed [tex]$=1$[/tex]) in [tex]$+\infty$[/tex], ergo non influenza l'andamento asintotico dell'integrando, il quale andamento dipende unicamente dal fattore [tex]$\tfrac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}$[/tex].
Conseguentemente:
[tex]$\frac{x\sqrt{x+1}}{(1+x\sqrt{x}+x^2)^\alpha}\approx \frac{1}{x^{2\alpha -\frac{3}{2}}}$[/tex]
e l'ultima funzione è sommabile solo se l'esponente è [tex]$>1$[/tex].
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