Risolvere equazione in C
Salve volevo sapere come risolvere l equazione in C di un numero complesso di terzo grado?
Risposte
[math]z^3=-\frac{2}{1-i\sqrt{3}}=-\frac{2(1+i\sqrt{3})}{4}=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}[/math]
Si tratta di calcolare la radice cubica di un numero complesso.
Bisogna scrivere z^3 nella forma di Eulero:
[math]z^3=\rho~e^{i\varphi}=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/math]
rho e` il modulo:
[math]\rho=\frac{\sqrt{1+3}}{2}=1[/math]
Inoltre
[math]\cos\varphi=-\frac{1}{2}[/math]
e [math]\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}
{2}[/math]
{2}[/math]
per cui
[math]\varphi=\frac{4}{3}\pi+2k\pi~~~(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots)[/math]
Per trovare z basta calcolare la radice cubica:
[math]z=\sqrt[3]{1}~e^{i\frac{1}{3}(\frac{4}{3}\pi+2k\pi)}=
e^{i(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}k\pi)}
[/math]
e^{i(\frac{4}{9}\pi+\frac{2}{3}k\pi)}
[/math]
e si trovano 3 soluzioni distinte, corrispondenti a k=0,1,2