Risolvere disequazione
Salve avrei bisogno di un aiuto con la risoluzione di una disequazione piuttosto complicata...
$\arccos [( log_\frac{1}{2} (| 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] \cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}\leq 0$
Ho provato a risolvere in questo modo: essendo il valore di un arcocoseno è sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale. Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0.
Riduciamo allora tutto a
$\arccos\( log_{\frac{1}{2}}( | 1-cos(x) | ) - \frac{\pi }{2} )\cdot \sqrt{\sin^{2}(x)-3\sin(x)}= 0$
sarà 0 quando
(1) $arcos ( log_{\frac{1}{2}}( | 1-cos(x)|) - \frac{\pi }{2} )= 0$
oppure quando
(2) $\sqrt{\sin^{2}(x)-3\sin(x)}= 0$
Ora però non so come continuare, non riesco a risolverle se mi potete dare una mano.
Grazie.
$\arccos [( log_\frac{1}{2} (| 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] \cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}\leq 0$
Ho provato a risolvere in questo modo: essendo il valore di un arcocoseno è sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale. Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0.
Riduciamo allora tutto a
$\arccos\( log_{\frac{1}{2}}( | 1-cos(x) | ) - \frac{\pi }{2} )\cdot \sqrt{\sin^{2}(x)-3\sin(x)}= 0$
sarà 0 quando
(1) $arcos ( log_{\frac{1}{2}}( | 1-cos(x)|) - \frac{\pi }{2} )= 0$
oppure quando
(2) $\sqrt{\sin^{2}(x)-3\sin(x)}= 0$
Ora però non so come continuare, non riesco a risolverle se mi potete dare una mano.
Grazie.
Risposte
"insule15":
Ho provato a risolvere in questo modo: essendo il valore di un arcocoseno è sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale. Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0.
Ottimo, davvero, questo sì che è avere occhio!
"insule15":
$\sqrt{\sin^{2}(x)-3\sin(x)}= 0$
Ora però non so come continuare, non riesco a risolverle se mi potete dare una mano.
Per l'arcocoseno ora non mi sovviene, ma la radice assume valore nullo quando è nullo l'argomento, quindi
$sin^2(x)-3 sin(x)=0$
cioè
$sin(x)(sin(x)-3)=0$
in cui una non si annulla mai...
Alla fine della storia, ricorda però di vedere se i valori che trovi "esistono", cioè se sono compatibili con le condizioni di esistenza di tutta la disequazione.
ok va bene.. e per l'arcocoseno c'è qualcuno che mi potrebbe aiutare..
grazie..
grazie..
"insule15":
e per l'arcocoseno c'è qualcuno che mi potrebbe aiutare..
Le trigonometriche inverse non mi sono mai andate a genio ma ragionando "al contrario"
$cos(0)=1$
dunque per essere $0$ l'arcocoseno, suppongo che l'argomento deve essere $1$, cioè $arccos(1)=0$. Basta allora porre "argomento=1" e risolvere...
[size=80]Ragà, ne è passato di tempo da quando facevo arcoseni, arcocoseni e arcotangenti, ho dovuto ricontrollare su wiki.
[/size]
L'arco-coseno è uguale a zero quando...
$\arccos x$ rappresenta, per definizione, l'angolo che ha come coseno il valore $x$. Quindi dire che $\arccos x = 0$ significa dire che $0$ è l'angolo che ha come coseno la $x$, quindi la $x$ vale proprio $1$.
Altro modo è "applicare" il coseno ad entrambi i membri: \[
\arccos x = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\left(\arccos x\right) = \cos 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1
\]
$\arccos x$ rappresenta, per definizione, l'angolo che ha come coseno il valore $x$. Quindi dire che $\arccos x = 0$ significa dire che $0$ è l'angolo che ha come coseno la $x$, quindi la $x$ vale proprio $1$.
Altro modo è "applicare" il coseno ad entrambi i membri: \[
\arccos x = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\left(\arccos x\right) = \cos 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1
\]
quindi devo risolvere queste due equazioni:
$[( log_\frac{1}{2} (| 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] =1$ (1)
e
$\sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}= 0$ (2)
allora l'ho risolta in questo modo, ditemi se sbaglio,
$sin^2(x)-3 sin(x)=0$
$sin(x)(sin(x)-3)=0$
e siccome
$sin(x)-3=0 $ non ha soluzioni
resta solo
$sin(x)=0$
ovvero $x=\pi$
per la (1) non sò come procedere.. se mi potete aiutare..
grazie..
$[( log_\frac{1}{2} (| 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] =1$ (1)
e
$\sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}= 0$ (2)
allora l'ho risolta in questo modo, ditemi se sbaglio,
$sin^2(x)-3 sin(x)=0$
$sin(x)(sin(x)-3)=0$
e siccome
$sin(x)-3=0 $ non ha soluzioni
resta solo
$sin(x)=0$
ovvero $x=\pi$
per la (1) non sò come procedere.. se mi potete aiutare..
grazie..
"insule15":
resta solo
$sin(x)=0$
ovvero $x=\pi$
Non solo $pi$, bensì \[x = k \pi, \ \ \ k \in \mathbb{Z}\]
Nella $(1)$ c'è qualche problema con le parentesi. Il testo è questo? \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(\left|1-\cos x\right|\right) - \frac{\pi}{2}} = 1\] Oppure questo? \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(\left|1-\cos x\right| - \frac{\pi}{2}\right)} = 1\] A occhio direi il secondo...
ok.. e questo:
$\log_\frac{1}{2}(|1-\cos x\| - \frac{\pi}{2}) = 1$
come lo risolvo..
grazie
$\log_\frac{1}{2}(|1-\cos x\| - \frac{\pi}{2}) = 1$
come lo risolvo..
grazie
Prima cosa: condizioni di esistenza, quindi \[\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} > 0\] Poi, per la risoluzione vera e propria, si parte dall'esterno: il logaritmo vale $1$ quando l'argomento è uguale alla base, quindi quando \[\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}\] A questo punto ci si accorge che richiedere \[A = \frac{1}{2}\] comprende anche \[A > 0\] quindi le condizioni di esistenza sono sottintese e non vanno risolte. Rimane \[\left|1-\cos x\right| = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}\]
quindi devo risolvere semplicemente :
$1-\cos x=-(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2})$
e
$1-\cos x=(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2})$
è giusto??
$1-\cos x=-(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2})$
e
$1-\cos x=(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2})$
è giusto??
Sì esatto. In ogni caso si verifica facilmente che $1-\cos x$ assume valori da $0$ a $2$ e non sarà quindi mai uguale a $+- (1/2 + pi/2)$. In conclusione, direi che l'equazione non ha soluzioni reali.
scusa ma potresti farmi vedere i passaggi che non sto riuscendo a capire..
sto andando in confusione..
grazie..
sto andando in confusione..
grazie..
Sì certo. Eravamo arrivati a \[\left|1-\cos x\right| = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad 1-\cos x = \pm\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\] Analizziamo il membro di sinistra: lo possiamo riscrivere come \[-\cos x + 1\] Ora facciamo queste osservazioni:
# $cos x$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[-1, 1\right] \)
# $-cos x$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[-1, 1\right] \)
# $-cos x + 1$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[0, 2\right] \)
Però si verifica facilmente che \[\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2} \approx 2.07 > 2\] quindi l'equazione non è soddisfatta per alcun valore reale di $x$.
# $cos x$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[-1, 1\right] \)
# $-cos x$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[-1, 1\right] \)
# $-cos x + 1$ può assumere valori \(\displaystyle \in\left[0, 2\right] \)
Però si verifica facilmente che \[\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2} \approx 2.07 > 2\] quindi l'equazione non è soddisfatta per alcun valore reale di $x$.
ok va bene..
quindi l'unica soluzione per la disequazione data é
$x = k \pi, \ \ \ k \in \mathbb{Z}$
è giusto??
fammi sapere.. grazie..
quindi l'unica soluzione per la disequazione data é
$x = k \pi, \ \ \ k \in \mathbb{Z}$
è giusto??
fammi sapere.. grazie..
Sì e no, nel senso che quella era la soluzione riguardante la parte con il radicale. Ora però, come aveva detto zero87, dobbiamo verificare che queste soluzioni siano accettabili.
Cominciamo dai multipli pari di $pi$, quindi consideriamo $x=0$. Se andiamo a sostituire questo valore nell'altra parte otteniamo \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(0 - \frac{\pi}{2}\right)}\] chiaramente non accettabile.
Consideriamo ora $x = \pi$. Nella parte dell'arcocoseno otteniamo \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(2-\frac{\pi}{2}\right)}\] Sembrerebbe accettabile ma non lo è! Infatti con una calcolatrice si verifica subito \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(2-\frac{\pi}{2}\right)} \approx 1.22 > 1\] Ma questo oggetto è l'argomento di un arcocoseno, quindi deve essere compreso tra $-1$ e $1$. In conclusione nessuna soluzione reale è accettabile.
Questo si poteva verificare anche studiando \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2}\right)}\] e notando che assume sempre valori $>1$, quindi non potrà mai essere l'argomento di un arcocoseno. Quindi questa disequazione non esiste mai!
Chiedo a qualcuno di verificare quanto ho scritto per evitare possibili errori.
Cominciamo dai multipli pari di $pi$, quindi consideriamo $x=0$. Se andiamo a sostituire questo valore nell'altra parte otteniamo \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(0 - \frac{\pi}{2}\right)}\] chiaramente non accettabile.
Consideriamo ora $x = \pi$. Nella parte dell'arcocoseno otteniamo \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(2-\frac{\pi}{2}\right)}\] Sembrerebbe accettabile ma non lo è! Infatti con una calcolatrice si verifica subito \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(2-\frac{\pi}{2}\right)} \approx 1.22 > 1\] Ma questo oggetto è l'argomento di un arcocoseno, quindi deve essere compreso tra $-1$ e $1$. In conclusione nessuna soluzione reale è accettabile.
Questo si poteva verificare anche studiando \[\log_{\frac{1}{2}}{\left(\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2}\right)}\] e notando che assume sempre valori $>1$, quindi non potrà mai essere l'argomento di un arcocoseno. Quindi questa disequazione non esiste mai!
Chiedo a qualcuno di verificare quanto ho scritto per evitare possibili errori.
scusatemi riguardando l'esercizio mi sono accorto che manca
$log_{\frac{1}{2}} $
infatti ho provato a risolvere in tal modo:
$arccos \log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| - \frac{\pi}{2} ) = 0$
$log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| - \frac{\pi}{2} = 1$
$log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| = 1 + \frac{\pi}{2} $
$1 - cos x = (\frac{1}{2})^{1 + \frac{\pi}{2}}$
ditemi se è sbagliato oppure no..
ora però non riesco a continuare..
se mi potete aiutate
grazie..
$log_{\frac{1}{2}} $
infatti ho provato a risolvere in tal modo:
$arccos \log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| - \frac{\pi}{2} ) = 0$
$log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| - \frac{\pi}{2} = 1$
$log_{\frac{1}{2}}|1-\cos x| = 1 + \frac{\pi}{2} $
$1 - cos x = (\frac{1}{2})^{1 + \frac{\pi}{2}}$
ditemi se è sbagliato oppure no..
ora però non riesco a continuare..
se mi potete aiutate
grazie..
Dunque, mi sembra tutto corretto a parte il valore assoluto che non hai riportato alla fine. Io arrivo a queste conclusioni \[
\left|1-\cos x\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
1-\cos x = \pm \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
\cos x = 1 \pm \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\] Il segno $+$ è da scartare perchè darebbe un valore maggiore di $1$, quindi \[
\cos x = 1- \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
x = \arccos \left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}\right]
\]
Come sempre chiedo a qualcuno di controllare quanto scrivo perchè, trattandosi anche di risultati piuttosto "brutti", è facile che io commetta qualche errore.
\left|1-\cos x\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
1-\cos x = \pm \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
\cos x = 1 \pm \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\] Il segno $+$ è da scartare perchè darebbe un valore maggiore di $1$, quindi \[
\cos x = 1- \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}
\]\[
x = \arccos \left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1}\right]
\]
Come sempre chiedo a qualcuno di controllare quanto scrivo perchè, trattandosi anche di risultati piuttosto "brutti", è facile che io commetta qualche errore.
allora a me viene che
$\cos x = 1 - (\frac{1}{2))^{\frac{\pi}{2}+1}$
e che quindi
$x = -\arccos [1- (\frac{1}{2})^{\frac{\pi}{2}+1}]$
quindi la soluzione è accettabile?
fatemi sapere..
grazie
$\cos x = 1 - (\frac{1}{2))^{\frac{\pi}{2}+1}$
e che quindi
$x = -\arccos [1- (\frac{1}{2})^{\frac{\pi}{2}+1}]$
quindi la soluzione è accettabile?
fatemi sapere..
grazie
Perchè quel $-$ davanti ad $arccos$?
perchè risolvendo:
\[ \left|1-\cos x\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1} \]
ottengo che
$x=\pm arccos(1-\frac{1}{2}^{\frac{\pi }{2}+1})$
ma dovendo considerare solo la parte negativa ho che
$x=- arccos(1-\frac{1}{2}^{\frac{\pi }{2}+1})$
ora però vorrei sapere se questa è accettabile come soluzione
della disequazione data..
fatemi sapere
grazie
\[ \left|1-\cos x\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}+1} \]
ottengo che
$x=\pm arccos(1-\frac{1}{2}^{\frac{\pi }{2}+1})$
ma dovendo considerare solo la parte negativa ho che
$x=- arccos(1-\frac{1}{2}^{\frac{\pi }{2}+1})$
ora però vorrei sapere se questa è accettabile come soluzione
della disequazione data..
fatemi sapere
grazie
Il \(\pm\) va messo solo davanti a $(1/2)^{pi/2+1}$.
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