Risoluzioni serie di funzioni

[mazzy89-votailprof]

ho provato a risolvere le seguente serie di funzioni ed espongo qui i miei passaggi per accertarmi se siano giusti o no.

1) $sum_{n=1}^infty x/n*e^(-nx)$ con $x in RR$

2) $sum_{n=1}^infty e^(-nx)$ con $x in RR$


dunque per studiare la prima mi studio la convergenza totale dato che se essa converge totalmente $=>$ converge uniformemente $=>$ converge puntualmente

Per dimostrare che una serie converge totalmente basta ricavare l'estremo sup dell'argomento della serie e di esso ricercare la convergenza.Dopo vari calcoli il $"sup"|x/n*e^(-nx)|$ è $1/n$. dato che la serie $sum_{n=1}^oo 1/n$ risulta ovviamente divergente allora la serie data non converge totalmente.

per la seconda invece posso applicare il criterio della radice. così trovo che essa converge puntualmente per ogni $x in ]0,+oo[$vedo allora se si ha uniforme convergenza.provo che la serie risulta totalmente convergente con lo stesso metodo utilizzato per prima.si ha così che il $"sup"|e^(-nx)|$ è 0 e quindi la serie data converge totalmente e quindi anche uniformemente.

questo è il mio ragionamento.spero sia giusto

[salvozungri]

1) Per quali valori di $x$, la successione $f_n(x):= x/n e^(-n x)$ è infinitesima? In altre parole, fissato $x_0\in RR$ quando la successione $f_n(x_0)->0$ per $n->\infty$?
Distingui i casi in cui $x_0<0$ ed $x_0>=0$

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":1) Per quali valori di $x$, la successione $f_n(x):= x/n e^(-n x)$ è infinitesima? In altre parole, fissato $x_0\in RR$ quando la successione $f_n(x_0)->0$ per $n->\infty$?
Distingui i casi in cui $x_0<0$ ed $x_0>=0$

dunque la successione $f_n(x):= x/n e^(-n x)$ è infinitesima per ogni $x_0 >=0$ e per nessun valore di $x_0<0$

[salvozungri]

Esatto. Già questo è sufficiente per affermare che la serie di funzioni non converge totalmente in $RR$, in quanto la serie non converge puntualmente in $(-\infty,0)$. A questo punto però dovresti studiare la convergenza totale in $[0, \infty)$, trovando il sup. Prova e fammi sapere

[Edit]: Corrette alcune parole che non stavano nè in cielo nè in terra

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Esatto. Già questo è sufficiente per affermare che la serie di funzioni non converge totalmente in $RR$, in quanto la serie non converge puntualmente in $(-\infty,0)$. A questo punto però dovresti studiare la convergenza torale in $[0, \infty)$, trovando il sup. Prova e fammi sapere

[Edit]: Corrette alcune parole che non stavano nè in cielo nè in terra

il sup di $|x/n*e^(-nx)|$ è $1/n$.esatto?

[salvozungri]

No, non va bene. Osserva che per $x>=0$ hai che $x/n e^(-n x)$ è non negativo, quindi il valore assoluto non serve. Io farei un velocissimo studio di funzione per determinare il massimo.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":No, non va bene. Osserva che per $x>=0$ hai che $x/n e^(-n x)$ è non negativo, quindi il valore assoluto non serve. Io farei un velocissimo studio di funzione per determinare il massimo.

la funzione risulta crescente per $x<=1/n$ il suo massimo è $1/n$

[salvozungri]

No, il massimo si ha per $x= 1/n$ che è ben diverso .
Il massimo della funzione è $f_n(1/n)= 1/(n^2 e)$. Cosa possiamo dire sulla convergenza totale?

[Edit]: Devo andare a cenare, torno dopo se hai ancora bisogno

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":No, il massimo si ha per $x= 1/n$ che è ben diverso .
Il massimo della funzione è $f_n(1/n)= 1/(n^2 e)$. Cosa possiamo dire sulla convergenza totale?

[Edit]: Devo andare a cenare, torno dopo se hai ancora bisogno

azz giusto.è una successione di funzione.esattamente.a questo punto dato che la serie $sum_{n=1}^oo 1/(n^2e)$ converge possiamo dire che la serie $sum_{n=1}^oo x/n*e^(-nx)$ converge totalmente in $[0,+oo[$

[Edit]:@Mathematico [OT]ma se volessi provare che una serie di funzioni è convergente uniformemente devo sempre passare dalla convergenza totale,cioè devo prima dimostrare che una serie converge totalmente per dimostrare che una serie converge uniformemente?

[salvozungri]

Yes! Ora va bene .
Per quanto riguarda la seconda, è giusta fino a quando non studi la totale convergenza. Il $"sup"_{{0 Potremmo vedere la serie di funzioni come una serie di potenze, infatti se poni $t= e^(-x)$ puoi vedere la serie come $\sum_{n=1}^\infty t^n$. Ora per questo tipo di serie esiste un teorema che ti assicura la convergenza totale. Lo hai fatto?

[salvozungri]

"mazzy89":
[Edit]:@Mathematico [OT]ma se volessi provare che una serie di funzioni è convergente uniformemente devo sempre passare dalla convergenza totale,cioè devo prima dimostrare che una serie converge totalmente per dimostrare che una serie converge uniformemente?

Questa è una bella domanda . E' difficile studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni, per questo si preferisce dimostrare qualcosa di "più forte", cioè la convergenza totale, il cui studio risulta essere più "meccanico".

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Yes! Ora va bene .
Per quanto riguarda la seconda, è giusta fino a quando non studi la totale convergenza. Il $"sup"_{{0 Potremmo vedere la serie di funzioni come una serie di potenze, infatti se poni $t= e^(-x)$ puoi vedere la serie come $\sum_{n=1}^\infty t^n$. Ora per questo tipo di serie esiste un teorema che ti assicura la convergenza totale. Lo hai fatto?

si si l'ho fatto.lo enuncio per vedere se è quello che dici tu:

sia $sum_{n=0}^oo a_nx^n$ una serie avente raggio di convergenza $r>0$.Sia inoltre $[a,b]$ un intervallo chiuso e limitato tale che $[a,b]sube]-r,r[$.allora la serie di potenze è totalmente convergente in $[a,b]$

[salvozungri]

Sì è proprio quello. Lo sai applicare all'esercizio che hai? Pensaci un pochetto e dimmi le tue considerazioni.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Sì è proprio quello. Lo sai applicare all'esercizio che hai? Pensaci un pochetto e dimmi le tue considerazioni.

posto (come hai precedentemente consigliato) $e^-x=t$ si ha $sum_{n=1}^oo t^n$. questa risulta convergente puntualmente per $x>0$ dato che si ha:

$|t|<1 => -1 -1 x>0$

ora quale sarebbe questo sottoinsieme $[a,b]?$

[salvozungri]

Il teorema ti assicura la convergenza totale per ogni insieme chiuso e limitato $[a, b]$ contenuto nell'intervallo di convergenza. Come hai detto, l'insieme di convergenza è $(0, +\infty)$, dunque per ogni $[a, b]\subset (0, +\infty)$ hai assicurata la convergenza totale. Un ultimo sforzo, in questo caso dovresti verificare se vi è convergenza totale sulle semirette della forma $[a,+ \infty)$ con $a>0$. Ti rimando ad un esercizio che è molto simile a questo.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Il teorema ti assicura la convergenza totale per ogni insieme chiuso e limitato $[a, b]$ contenuto nell'intervallo di convergenza. Come hai detto, l'insieme di convergenza è $(0, +\infty)$, dunque per ogni $[a, b]\subset (0, +\infty)$ hai assicurata la convergenza totale. Un ultimo sforzo, in questo caso dovresti verificare se vi è convergenza totale sulle semirette della forma $[a,+ \infty)$ con $a>0$. Ti rimando ad un esercizio che è molto simile a questo.

be che coincidenza.esercizio molto simile a quello affrontato da te circa 3 mesi fà.se non erro la situazione è molto simile alla tua.ogni funzione $e^(-nx)$ è decrescente quindi il massimo in $[a,+oo)$ con $(a>0)$ è preso in $a$ ed è $M_n=e^(-an)$.dato che la serie $sum_{n=1}^oo e^(-an)$ risulta convergente la serie di funzioni converge totalmente in ogni semiretta $[a,+oo)$

[salvozungri]

Sì. Va bene! Ora faccio il cattivo Trovami la somma della serie $\sum_{n=1}^\infty e^(-n x)$ (facoltativo, ma utile per tenere la mente allenata)

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Sì. Va bene! Ora faccio il cattivo Trovami la somma della serie $\sum_{n=1}^\infty e^(-n x)$ (facoltativo, ma utile per tenere la mente allenata)

mmm questa senza l'ausilio del pc mi sembra difficile dato che il nostro prof non ha mai voluto essere determinato la somma di una serie.però sarei molto contento se lo sapessi fare

[salvozungri]

$\sum_{n=1}^\infty e^(-n x) = \sum_{n=1}^\infty (1/e^x)^n$, questa scrittura dovrebbe farti venire in mente la serie geometrica di ragione $1/e^x$. Ricordando la formula ottieni la somma (in questo caso devi porre attenzione perchè la serie parte da 1 e non da zero). L'uguaglianza tra la "funzione somma" e la serie vale solo se $x$ appartiene all'insieme di convergenza. . E con questo chiudo, ti ho torturato abbastanza

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":$\sum_{n=1}^\infty e^(-n x) = \sum_{n=1}^\infty (1/e^x)^n$, questa scrittura dovrebbe farti venire in mente la serie geometrica di ragione $1/e^x$. Ricordando la formula ottieni la somma (in questo caso devi porre attenzione perchè la serie parte da 1 e non da zero). L'uguaglianza tra la "funzione somma" e la serie vale solo se $x$ appartiene all'insieme di convergenza. . E con questo chiudo, ti ho torturato abbastanza

ah si esatto.è una serie geometrica quindi basta applicare la formula ottengo la somma ma dato che come hai detto te parte da 1 e non da 0 basta applicare la seguente formula del tipo $sum_{k=m}^n x^k=(x^m-x^(n+1))/(1-x)$


ps. sei un grande mathematico nelle serie.te le bevi.ti ringrazio per l'aiuto.e penso proprio che non sarà l'ultima consulenza che mi darai dato che ho iniziato da poco ad applicarmi ad analisi 2

[salvozungri]

In realtà la formula è $\sum_{k=m}^\infty x^k = x^m/(1-x)$ (si ottiene da quella che hai scritto tu, passando $n$ all'infinito e nel caso in cui $|x|<1$).
Nel nostro caso abbiamo che $\sum_{n=1}^\infty (e^(-x))^n = 1/(e^x-1)\quad AA x>0$
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Nota: al momento sono in fase rem, è possibile che vi siano errori di calcolo, come sempre invito tutti a riferirmi ogni tipo di svista. Grazie.