Risoluzione trasformata di Fourier

[andy4649]

Sto cercando di calcolare la funzione di f trasformata di Fourier di

$x(t)=|t|rect_(2T)(t)$

Il metodo che ho scelto io è il seguente: sia F la trasformazione di Fourier. Dalle proprietà della t.d.F. sappiamo che

$(F{(dx(t))/dt})/(j2pif)=F{x(t)}$

Dobbiamo intanto calcolare $(dx(t))/dt$. Ora, io ho letto su una nota negli esercizi risolti del professore, che una funzione a tratti come $x(t)$ quando si deriva gli si sommano degli impulsi (delta di Dirac) per ogni discontinuità, di area pari all'ampiezza (con segno) della discontinuità e traslati nel punto in cui si trova la discontinuità. Io non so se questa è una definizione matematica di derivata valida per le funzioni a tratti (che in teoria in quei punti dovrebbero essere non derivabili!) oppure se è un metodo che non è esatto matematicamente ma che risulta valido poi per il calcolo della t.d.F. della derivata, ma non mi importa più di tanto dato che ho già applicato questo metodo di sommare gli impulsi alla derivata a tratti e mi ha dato risultati giusti in altri esercizi.
Ora abbiamo che

$(dx(t))/dt=-rect_(T)(t+T/2)+rect_(T)(t-T/2)+Tdelta(t+T/2)-Tdelta(t-T/2)$

la cui t.d.F. è

$F{(dx(t))/dt}=(-Tsinc(fT)e^(jpifT)+Tsinc(fT)e^(-jpifT))+(Te^(jpifT)-Te^(-jpifT))=(Tsinc(fT)(e^(-jpifT)-e^(jpifT)))+(T(e^(jpifT)-e^(-jpifT)))=-Tsinc(fT)2jsin(pifT)+T2jsin(pifT)$,

ricordando che

$F{Adelta(t)}=A$ e che $F{Arect_T(t)}=ATsinc(fT)$,

e ricordando la proprietà di traslazione della t.d.F. per cui

$F{x(t-t_0)}=F{x(t)}e^(-j2pift_0)$,

e allora

$F{x(t)}=(F{(dx(t))/dt})/(j2pif)=-(Tsinc(fT)2jsin(pifT))/(j2pif)+(T2jsin(pifT))/(j2pif)=-T^2sinc^2(fT)+T^2sinc(fT)$

Invece, il libro propone di applicare direttamente la formula della trasformata di Fourier e poi sommare le aree da -T a 0 e da 0 a T. Il risultato dal libro non concorda con il mio, essendo

$F{x(t)}=2T^2sinc(2fT)-T^2sinc^2(fT)$

che, in nessun modo, è uguale al mio risultato. Vorrei che mi spiegaste quale dei due risultati è giusto. Se vi serve vi posto anche il procedimento della soluzione del libro. Grazie in anticipo.

[coffee2]

Occhio che le delta vanno centrate in $\pm T$, non in $\pm T/2$.