Risoluzione sistema equaz. differenziali accoppiate
salve, ho un dubbio su come risolvere il sitema di equazioni differenziali accoppiate seguente
$\{ (x''(t)-A * y'(t)-B*x(t)=0),(y''(t)+A * x'(t)=0):}$
$A, B$ coeff. costanti e con con le condizioni iniziali
$\{(x(0)=0=y(0)),(x'(0)=v_0),(y'(0)=0):}$
(con $v_0$ velocità iniziale costante).
è gradito anche un semplice suggerimento, ma la risoluzione completa è ben accetta!
grazie a tutti
[mod="Gugo82"]Ho usato un po' di MathML per mettere a posto le formule.
Dopo 40 messaggi sarebbe bene dare un'occhiata qui.
[/mod]
$\{ (x''(t)-A * y'(t)-B*x(t)=0),(y''(t)+A * x'(t)=0):}$
$A, B$ coeff. costanti e con con le condizioni iniziali
$\{(x(0)=0=y(0)),(x'(0)=v_0),(y'(0)=0):}$
(con $v_0$ velocità iniziale costante).
è gradito anche un semplice suggerimento, ma la risoluzione completa è ben accetta!
grazie a tutti
[mod="Gugo82"]Ho usato un po' di MathML per mettere a posto le formule.
Dopo 40 messaggi sarebbe bene dare un'occhiata qui.
[/mod]
Risposte
Io proporrei di derivare la prima equazione e sostituirvi la $y''$ ricavata dalla seconda, poi vedere cosa esce fuori.
grazie per la modifica
scusa tutto ok, cmq ora ci provo
Per la derivata seconda devo usare per forza due apici ($''$); non posso usare i doppi apici (") perchè MathML non li "vede".
Ad ogni modo, il suggerimento rimane valido.
Ad ogni modo, il suggerimento rimane valido.
devo derivare solo la prima e poi sostituire y'' della seconda nella prima? tutto in funzione di x!!
ma facendo cosi non ottengo la derivata terza in x complicando le cose???
ma facendo cosi non ottengo la derivata terza in x complicando le cose???
Nota che, dopo la derivazione e la sostituzione, nell'equazione compaiono solo $x'''$ ed $x'$; se poni $u=x'$, ti riconduci ad una semplice equazione del second'ordine omogenea in $u$ (che sai risolvere "in funzione" delle costanti $A,B$). Ovviamente poi ricavi $x$ integrando, ossia $x=\int u " d"t$.
In generale derivare un'equazione ti porta qualche soluzione in più, quindi dovrai scremare un po' le cose dopo aver ricavato $y$ ed aver usato le condizioni iniziali.
In generale derivare un'equazione ti porta qualche soluzione in più, quindi dovrai scremare un po' le cose dopo aver ricavato $y$ ed aver usato le condizioni iniziali.
mi chiedevo se questo metodo (cambiamento di variabile) è l'unico possibile??
Sicuramente è quello più conveniente (ti riporta ad un'equazione che sai risolvere ad occhi chiusi, che vuoi di più?).
Potresti anche applicare dei risultati di esistenza di tipo funzional-analitici, ma non credo che ti gioverebbe se il tuo scopo è quello di determinare l'espressione elementare delle soluzioni.
Potresti anche applicare dei risultati di esistenza di tipo funzional-analitici, ma non credo che ti gioverebbe se il tuo scopo è quello di determinare l'espressione elementare delle soluzioni.
ma quando risolvo quest'equazione le condizioni al contorno quali devo mettere??
devo considerare che u=x' e
devo considerare che u=x' e
L'equazione in $u$, ad occhio, dovrebbe essere $u''+(A^2-B)*u=0$. Le soluzioni sono del tipo $u(t)=c_1e^(lambda_1 t)+c_2e^(lambda_2 t)$ oppure $u(t)=c_1t+c_2$ oppure $u(t)=c_1 cos lambda_1t+c_2 sin lambda_2 t$, a seconda del segno di $A^2-B$ e con i valori di $lambda_1,lambda_2$ appropriati.
Qui non imponi ancora le condizioni iniziali. Per farlo ti occorre determinare prima $x$.
Per determinare $x(t)$ devi integrare l'espressione di $u(t)$ ed aggiungere la solita costante arbitraria: ad esempio se prendi $u(t)=c_1 cos lambda_1t+c_2 sin lambda_2 t$, allora da $x'=u$ ricavi $x=\int u" d"t$ cioè:
$x(t)=c_1/lambda_1 sin lambda_1t -c_2/lambda_2 cos lambda_2 t +c_3$
A questo punto imponi le condizioni iniziali su $x$, ma vedi che ti "avanza" una costante che probabilmente andrà determinata per altra via (ad esempio, dopo aver ricavato esplicitamente la $y$).
Qui non imponi ancora le condizioni iniziali. Per farlo ti occorre determinare prima $x$.
Per determinare $x(t)$ devi integrare l'espressione di $u(t)$ ed aggiungere la solita costante arbitraria: ad esempio se prendi $u(t)=c_1 cos lambda_1t+c_2 sin lambda_2 t$, allora da $x'=u$ ricavi $x=\int u" d"t$ cioè:
$x(t)=c_1/lambda_1 sin lambda_1t -c_2/lambda_2 cos lambda_2 t +c_3$
A questo punto imponi le condizioni iniziali su $x$, ma vedi che ti "avanza" una costante che probabilmente andrà determinata per altra via (ad esempio, dopo aver ricavato esplicitamente la $y$).
ok ottengo la stessa cosa. sul valore delle costanti A eB non ho particolari valori quindi bisognerebbe studiare tutti e tre i casi. fino al calcolo di x(t) ottengo gli stessi risultati. sulla terza costante non sò vedremo. grazie ancora
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