Risoluzione serie di potenze

[ste88r1]

Ciao, mi servirebbe un aiuto su questa serie di potenza.
riesco ad arrivare a calcolare il raggio di convergenze ma quando vado a sostituirlo a x mi perdo

$sum_(n = 0) (6^-n+2)/(3n^2+1)*(x-1)^n $

Grazie

p.s. sopra il simbolo sum ci va infinito

[pilloeffe]

Ciao ste88r,

"ste88r":riesco ad arrivare a calcolare il raggio di convergenza ma quando vado a sostituirlo a x mi perdo

Scusa, mi faresti vedere come procedi a calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (6^-n+2)/(3n^2+1) (x-1)^n $

?

[ste88r1]

uso criterio del rapporto non considerando la parte con la x

$lim_(n -> oo ) (6^-(n+1)+2)/(3(n+1)^2+1)*(3n^2+1)/(6^-n+2)$

porto fuori il 6^-1 e semplifico il 6^-n+2
$lim_(n -> oo ) 1/6(6^-n+2)/(3n^2+6n+4)*(3n^2+1)/(6^-n+2)$


$lim_(n -> oo ) 1/6*(3n^2+1)/(3n^2+6n+4)$

viene 1/6. quindi R.C. =6

[pilloeffe]

"ste88r":porto fuori il 6^-1 e semplifico il 6^-n+2

Errore piuttosto grave... Si ha:

$\lim_{n \to +\infty} (6^{-(n+1)}+2)/(3(n+1)^2+1)\cdot (3n^2+1)/(6^{-n}+2) = \lim_{n \to +\infty} (6^{-(n+1)}+2)/(6^{-n}+2) \cdot (3n^2+1)/(3n^2+6n +4) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (6^{-(n+1)}+2)/(6^{-n}+2) \cdot \lim_{n \to +\infty} (3n^2+1)/(3n^2+6n +4) = 2/2 \cdot 3/3 = 1 $

Quindi il raggio di convergenza è $R = 1 $

[ste88r1]

grazie mille!

non ho capito però come hai lavorato la prima parte che ti viene 2/2. il 6^-1 dovè finito? ciao grazie

[pilloeffe]

"ste88r":grazie mille!

Prego!

"ste88r":non ho capito però come hai lavorato la prima parte che ti viene 2/2. il 6^-1 dovè finito?

Beh, da nessuna parte: $\lim_{n \to +\infty} 6^{- (n + 1)}= \lim_{n \to +\infty} 6^{- n} = 0 $, sicché rimane il $2$ a numeratore ed il $2$ a denominatore. Se proprio ci tieni spasmodicamente a raccogliere il $ 6^-1 = 1/6$ devi raccoglierlo da tutto il numeratore, non solo dalla prima parte:

$\lim_{n \to +\infty} (6^{-(n+1)}+2)/(3(n+1)^2+1)\cdot (3n^2+1)/(6^{-n}+2) = 1/6 \cdot \lim_{n \to +\infty} (6^{-n}+12)/(6^{-n}+2) \cdot (3n^2+1)/(3n^2+6n +4) = $
$ = 1/6 \cdot \lim_{n \to +\infty} (6^{-n}+12)/(6^{-n}+2) \cdot \lim_{n \to +\infty} (3n^2+1)/(3n^2+6n +4) = 1/6 \cdot 12/2 \cdot 3/3 = 1 $