Risoluzione serie

[ncant04]

Voglio condividere con voi i passaggi per la determinazione del carattere delle serie seguenti
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^3 \frac{\pi n}{n+5}}{\sqrt{n^2 + n}-n}; \qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right)
\]
Come al solito, sono felice di ricevere suggerimenti/feedback .

Per la prima si ha che
\begin{align*}
\sin^3 \frac{\pi n}{n+5} &= \sin^3 \left( \pi - \frac{\pi n}{n+5} \right) = \sin^3\frac{\pi(n + 5) - \pi n}{n+5} = \sin^3 \frac{\pi n + 5 \pi - \pi n}{n+5} \\
&= \sin^3 \frac{5 \pi}{n+5} \sim \left( \frac{5 \pi}{n+5}\right)^3
\end{align*}
(si è sfruttato il limite notevole $\sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x)$ per $\varepsilon (x) \to 0$) e che
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{n^2 + n} - n} &= \frac{1}{\sqrt{n^2 + n} - n} \times \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{n^2 + n - n^2} = \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{n} \\
&= \frac{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)}{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \to 2
\end{align*}
per $n \to +\infty$.
Da quanto appena ottenuto abbiamo
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^3 \frac{\pi n}{n+5}}{\sqrt{n^2 + n}-n} \sim 2 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{5 \pi}{n+5}\right)^3 = 2(5 \pi)^3 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+5)^3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\]
e dunque, per confronto asintotico con la serie di $ 1 / n^3 $, la serie di partenza converge.

Nel caso invece di
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right) ,
\]
sfruttando i limiti notevoli $\sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x)$ e $\ln (1 + \varepsilon (x)) ~ \varepsilon (x)$ (per $\varepsilon (x) \to 0$), si ha
\[
\left| (-1)^n \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right) \right| = \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right) \sim \frac{1}{n \sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}} \text{.}
\]
Essendo la serie di $1 / n^{3/2}$ convergente, la serie di partenza è assolutamente convergente.

[pilloeffe]

Ciao ncant,

Mi sembrano corrette.