Risoluzione limiti semplici
Ho affrontato all'università l'argomento dei limiti di funzione, ma ho particolare difficoltà su alcuni di questi.
Chiedo se potete darmi una mano a capire lo svolgimento di un paio:
$lim x->+infty$ rad^3 ( 1 + x^3) - rad^3 (1 + 4x + x^3) ;
$lim x->0$ $(e^(2x) - sqrt(1-x))/sinx$ ;
Scusate se non conosco la sintassi per scrivere bene il testo. ( rad^3 vuol dire radice cubica, per capirci)
In generale con le radici ho difficoltà a risolverli.
Grazie a chi mi risponderà.
Chiedo se potete darmi una mano a capire lo svolgimento di un paio:
$lim x->+infty$ rad^3 ( 1 + x^3) - rad^3 (1 + 4x + x^3) ;
$lim x->0$ $(e^(2x) - sqrt(1-x))/sinx$ ;
Scusate se non conosco la sintassi per scrivere bene il testo. ( rad^3 vuol dire radice cubica, per capirci)
In generale con le radici ho difficoltà a risolverli.
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Dunque, i due limiti vanno risolti in modo diverso. Quando hai un limite in cui compare un termine della forma
[tex]$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$[/tex]
puoi usare la seguente formula di "razionalizzazione"
[tex]$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$[/tex]
cosicché, moltiplicando e dividendo per la stessa quantità tu possa eliminare la forma indeterminata. Inoltre, essendo il limite a infinito, basta considerare, nelle radici del termine che usi per razionalizzare, solo quelli di grado maggiore.
Praticamente ottieni
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x^3}-\sqrt{1+4x+x^3}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+x^3-1-4x-x^3}{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x}{x^2+x^2+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x}{3x^2}=0^-$[/tex]
Per il secondo, invece, ti consiglio di usare il confronto locale: in generale, usando i limiti notevoli, si ha che, se [tex]$f(x)\to 0$[/tex] per [tex]$x\to 0$[/tex], allora
[tex]$e^{f(x)}\sim 1+f(x),\qquad (1+f(x))\alpha\sim 1+\alpha f(x),\qquad \sin f(x)\sim f(x)$,\qquad \qquad x\to 0,$[/tex]
per cui
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-\sqrt{1-x}}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+2x-(1-x/2)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$[/tex]
[tex]$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$[/tex]
puoi usare la seguente formula di "razionalizzazione"
[tex]$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$[/tex]
cosicché, moltiplicando e dividendo per la stessa quantità tu possa eliminare la forma indeterminata. Inoltre, essendo il limite a infinito, basta considerare, nelle radici del termine che usi per razionalizzare, solo quelli di grado maggiore.
Praticamente ottieni
[tex]$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x^3}-\sqrt{1+4x+x^3}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}=$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+x^3-1-4x-x^3}{\sqrt[3]{(1+x^3)^2}+\sqrt[3]{(1+x^3)(1+4x+x^3)}+\sqrt[3]{(1+4x+x^3)^2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x}{x^2+x^2+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x}{3x^2}=0^-$[/tex]
Per il secondo, invece, ti consiglio di usare il confronto locale: in generale, usando i limiti notevoli, si ha che, se [tex]$f(x)\to 0$[/tex] per [tex]$x\to 0$[/tex], allora
[tex]$e^{f(x)}\sim 1+f(x),\qquad (1+f(x))\alpha\sim 1+\alpha f(x),\qquad \sin f(x)\sim f(x)$,\qquad \qquad x\to 0,$[/tex]
per cui
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-\sqrt{1-x}}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+2x-(1-x/2)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$[/tex]
Grazie mille , davvero chiaro.
Le formule di confronto le hai prese da questi limiti vero? :
$(e^x -1)/(x)=1$ , $(senx)/(x) =1$ . Ma nel secondo caso? Ho cercato tra i miei testi, ma non lo riconosco.
EDIT: sbaglio o hai scritto male? E' $(1+f(x))^a$ asintotico a $1 + ax$.
Le formule di confronto le hai prese da questi limiti vero? :
$(e^x -1)/(x)=1$ , $(senx)/(x) =1$ . Ma nel secondo caso? Ho cercato tra i miei testi, ma non lo riconosco.
EDIT: sbaglio o hai scritto male? E' $(1+f(x))^a$ asintotico a $1 + ax$.
Per esprimere la radice cubica (scrivi root(3)(f(x)) ) nel simbolo di $.
Per quanto riguarda il primo esercizio prova a mettere in evidenza la prima radice e vedi se riesci ad arrivare un confronto asintotico noto.
Per quanto riguarda il secondo limite invece, nota che $sqrt(1-x)->1$ quindi puoi rivedere il tuo limite anche così:
$lim_(x->0)(e^(2x)-1)/sinx$
e prova a lavorare sempre con i confronti asintotici.
Per quanto riguarda il primo esercizio prova a mettere in evidenza la prima radice e vedi se riesci ad arrivare un confronto asintotico noto.
Per quanto riguarda il secondo limite invece, nota che $sqrt(1-x)->1$ quindi puoi rivedere il tuo limite anche così:
$lim_(x->0)(e^(2x)-1)/sinx$
e prova a lavorare sempre con i confronti asintotici.
"Lorin":
Per esprimere la radice cubica (scrivi root(3)(f(x)) ) nel simbolo di $.
Per quanto riguarda il primo esercizio prova a mettere in evidenza la prima radice e vedi se riesci ad arrivare un confronto asintotico noto.
Per quanto riguarda il secondo limite invece, nota che $sqrt(1-x)->1$ quindi puoi rivedere il tuo limite anche così:
$lim_(x->0)(e^(2x)-1)/sinx$
e prova a lavorare sempre con i confronti asintotici.
Attento Lorin, se prima sostituisci la radice, perdi degli ordini di infinitesimo necessari!
@Jimbe: sì, i confronti locali che ti ho scritto provengono da quei limiti notevoli.
Infatti non viene se faccio come Lorin dice.
Comunque per essere sicuro di non perderli devo sostituire la x solo se necessario al termine della manipolazione algebrica?
Comunque per essere sicuro di non perderli devo sostituire la x solo se necessario al termine della manipolazione algebrica?
Adesso stavo pensando a questa cosa e stavo modificando il post di prima...
Grazie per la correzione.
Grazie per la correzione.
@ Jimbe: non ho capito cosa intendi.
@ Lorin: non ti preoccupare... certe volte ad occhio a prima acchito mi ci perdo anche io!
@ Lorin: non ti preoccupare... certe volte ad occhio a prima acchito mi ci perdo anche io!
A questo punto ne approfitto, visto che è arrivato il momento di colmare tutte le mie piccole lacune, date dai troppi impegni...
ciampax mi chiedevo se potessi spiegarmi meglio il concetto da te espresso prima "perdere ordini di infinitisemo" Grazie
ciampax mi chiedevo se potessi spiegarmi meglio il concetto da te espresso prima "perdere ordini di infinitisemo" Grazie
Bé, è una questione abbastanza semplice: pensa ad un limite che presenti la seguente funzione [tex]$\sin x-\tan x$[/tex]. Se tu usassi il confronto locale "semplice" (cioè quello che proviene dai limiti notevoli per [tex]$\sin x/x,\ \tan x/x$[/tex]), andresti a sostituire tutte e due le funzioni con $x$, per cui ti verrebbe da dire che tale differenza va a zero. Tuttavia, la realtà dei fatti è che tu vai a sostituire le funzioni con una cosa della forma [tex]$x+o(x)$[/tex] e il problema sta nel fatto che, in generale [tex]$o(x)-o(x)\ne 0$[/tex]. Infatti, pensa agli sviluppi di McLaurin delle due funzioni: essi sono
[tex]$\sin x=x+o_s(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3),\qquad \tan x=x+o_t(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
per cui, come puoi vedere, gli "o piccoli di $x$" (indicati solo per comodità come $o_s,\ o_t$) delle due funzioni sono differenti, ed ottieni
[tex]$o_s(x)-o_t(x)=-\frac{x^3}{3}+o(x^3)-\frac{x^3}{3}-o(x^3)=-\frac{2x^3}{2}+o(x^3)$[/tex]
Inoltre osserva che, sebbene si presenti di nuovo una differenza tra due o piccoli della stessa potenza, alla fine ho scritto un solo o piccolo con la stessa potenza: questo perché anche per tali termini potrai rifare lo stesso ragionamento per cui la differenza tra tali termini non è nulla.
Spero di aver chiarito il tuo dubbio.
[tex]$\sin x=x+o_s(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3),\qquad \tan x=x+o_t(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
per cui, come puoi vedere, gli "o piccoli di $x$" (indicati solo per comodità come $o_s,\ o_t$) delle due funzioni sono differenti, ed ottieni
[tex]$o_s(x)-o_t(x)=-\frac{x^3}{3}+o(x^3)-\frac{x^3}{3}-o(x^3)=-\frac{2x^3}{2}+o(x^3)$[/tex]
Inoltre osserva che, sebbene si presenti di nuovo una differenza tra due o piccoli della stessa potenza, alla fine ho scritto un solo o piccolo con la stessa potenza: questo perché anche per tali termini potrai rifare lo stesso ragionamento per cui la differenza tra tali termini non è nulla.
Spero di aver chiarito il tuo dubbio.
Ho capito...hai ragione....e quindi quel limite utilizzando lo sviluppo in serie dovrebbe fare $-1$?
Di quale limite stai parlando?
dell'ultimo...$sinx-tgx$ applicando il tuo ragionamento quanto dovrebbe venire?!
Zero. 
però il ragionamento di sostituire $sinx ~ x , tgx ~ x$ non va bene perchè si hanno ordine di infinitesimo diversi....capito!
Scusate, ma già che ci siamo esprimo i miei dubbi: come si risolve questo limite? (credo che riguardi la discussione)
$lim_(x->0) x + sen(1/x)$
Mostrate lo svolgimento. Grazie ancora a chi risponderà.
$lim_(x->0) x + sen(1/x)$
Mostrate lo svolgimento. Grazie ancora a chi risponderà.
In effetti... no! Nel senso che, in questo caso, puoi ragionare così: posto $t=1/x$ il limite si riscrive come
[tex]$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}+\sin t$[/tex]
e in esso noti che il primo addendo tende a zero, mentre il secondo, per la periodicità della funzione seno, non esiste. Segue che il limite non esiste.
Nel senso che, in questo caso, puoi ragionare così: posto $t=1/x$ il limite si riscrive come[tex]$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}+\sin t$[/tex]
e in esso noti che il primo addendo tende a zero, mentre il secondo, per la periodicità della funzione seno, non esiste. Segue che il limite non esiste.
e se $t->+oo$?!
non esiste appunto. Perchè oscilla tra 1 e -1.
@ Lorin: non è una questione di quale infinito usi, ma del fatto che vai ad infinito.
e non so perchè ero convinto che si potesse ragionare come per le successioni....
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