Risoluzione limiti con sviluppo di tayloer

[giupar93]

Buongiorno a tutti ragazzi, devo risolvere questo limite con lo sviluppo di taylor:

$ lim_(x->0) ((sen^2x) (tgx))/(arctg^3x (1+x^2)) $

essendo agli inizi, non so fino a che ordine mi debbo fermare, quindi ho pensato di fermarmi al 3° ordine, e pertanto lo sviluppo di taylor della tangente è il seguente:

$ tgx= x+(x^3/3)+o(x^3) $ (è corretto?)

per quanto riguarda gli altri due non so da dove iniziare, pertanto chiedo il vostro aiuto

grazie mille anticipatamente!

[francicko]

Mah, non avendo somme o differenze, ma solo un prodotto a numeratore, e ' sufficiente l'uso degli asintotici che corrispondono allo sviluppo in serie di taylor sino al primo ordine delle funzioni in questione, per cui si ha:
$sin^2(x)~x^2$ e, $tgx~x $, ed $arctg^3(x)(1+x^2)~x^3$,
sostituendo il nostro limite diventa
$lim_(x->0)(x^2×x)/(x^3)$ $=lim_(x->0)(x^3)/(x^3)=lim_(x->0)x^3/x^3=1$, spero di non essermi sbagliato;
Saluti!

[giupar93]

"francicko":Mah, non avendo somme o differenze, ma solo un prodotto a numeratore, e ' sufficiente l'uso degli asintotici che corrispondono allo sviluppo in serie di taylor sino al primo ordine delle funzioni in questione, per cui si ha:
$sin^2(x)~x^2$ e, $tgx~x $, ed $arctg^3(x)(1+x^2)~x^3$,
sostituendo il nostro limite diventa
$lim_(x->0)(x^2×x)/(x^3)$ $=lim_(x->0)(x^3)/(x^3)=lim_(x->0)x^3/x^3=1$, spero di non essermi sbagliato;
Saluti!

provando con wolfram alpha il limite risulta 1, così come hai detto tu. Ti chiedo per favore se potresti essere più chiaro nella logica che ti ha spinto a dire di fermarti al primo ordine. Grazie mille

[francicko]

Sicuramente partendo dalla semplice conoscenza dei limiti notevoli che equivalgono allo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo ordine, $sinx=x+o (x)$ da cui deduco che $sin^2 (x)=x^2+o(x^2)$, inoltre $tg(x)=x+o(x)$, quello che interessa ai fini del confronto e' il termine che tende a zero meno velocemente cioe' $x^3$, gli altri termini che vengono fuori dal prodotto sicuramente saranno infinitesimi di ordine superiore, pettanto trascurabili in una somma e quindi nella somma a numeratore prevarrà il termine $x^3$, appunto l'infinitesimo di ordine più basso, idem ragionamento a denominatore dove l' infinitesimo prevalente sarà sempre quello di ordine più basso cioe' sempre il termine $x^3$, pertanto avremo $lim_(x->0)((x^2+o(x))×(x+o (x)))/(x^3+o(x^3))$ $=lim_(x->0)(x^3+o (x^3))/(x^3+o(x^3))=$ $lim_(x->0)x^3/x^3=1$