Risoluzione limite $ lim_(x -> +oo ) root (2) (x)(root (3)(x+1)- root(3)(x - 1)) $

[hero_vale]

Ciao a tutti

Dovrei risolvere questo limite

$ lim_(x -> +oo ) root (2) (x)(root (3)(x+1)- root(3)(x - 1)) $

Ho provato a razionalizzare ma non riesco ad uscirne; ho pensato a Taylor ma essendo x tendente ad infinito non saprei come sviluppare in polinomi i termini della funzione; ho pensato anche di raccogliere $ root (3) (1 - x) $ per ovviare alla forma di indeterminazione, ma poi non saprei gestirlo...

Sapreste darmi delle dritte?

Grazie

[spugna2]

Se razionalizzi ottieni ${sqrt{x}[(x+1)-(x-1)]}/{root(3)((x+1)^2)+root(3)(x^2-1)+root(3)((x-1)^2)}={2 sqrt{x}}/{x^{2/3}(root(3)((1+1/x)^2)+root(3)(1-1/x^2)+root(3)((1-1/x)^2))}$. L'espressione al denominatore tende a $3$, quindi rimane $2/3 x^{-1/6}$, che tende a $0$.

[francicko]

Sì può anche risolvere con gli sviluppi in serie arrestati al primo termine(asintotici);
$root(3)(1+1/x)~~(1+1/(3x)) $
$root(3)(1-1/x)~~(1-1/(3x)) $
$lim_(x->infty)sqrt (2)root(3)(x(1+1/x))-root(3)(x(1-1/x)) $ $=lim sqrt (2)root(3)(x)(1+1/(3x)-1+1/(3x)) $ $=lim2(x^(5/6))/(3x)=0$

[hero_vale]

Perfetto! Grazie mille a tutti e due!