Risoluzione limite funzioni due variabili
$lim_(x,y)->(0,0) (1-cos(xy))/(x^2+y^6)$
allora vi dico già che il limite vale io ho tentato così poi mi sono fermato:
$(1-cos(xy))/(xy)*(xy)/(x^2+y^6)$
$|xy|/(x^2+y^6)<=1/2 (x^2+y^2)/(x^2+y^6)$
perchè sapevo di mio da un altro esercizio che questa disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$
però non so se possa essere utile a questo caso.
Ragazzi poi un'altra cosa
in questo esercizio a un certop punto studia il limite di $|xy|/sqrt(x^2+y^2)<=1/2 (x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2 sqrt(x^2+y^2)$
ma questa in questa disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ la prof ha scelto proprio di mettere dopo 1/2 proprio $(x^2+y^2)$, perchè c'è al denominatore $sqrt(x^2+y^2)$ o è così in generale?
allora vi dico già che il limite vale io ho tentato così poi mi sono fermato:
$(1-cos(xy))/(xy)*(xy)/(x^2+y^6)$
$|xy|/(x^2+y^6)<=1/2 (x^2+y^2)/(x^2+y^6)$
perchè sapevo di mio da un altro esercizio che questa disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$
però non so se possa essere utile a questo caso.
Ragazzi poi un'altra cosa
in questo esercizio a un certop punto studia il limite di $|xy|/sqrt(x^2+y^2)<=1/2 (x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2 sqrt(x^2+y^2)$
ma questa in questa disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ la prof ha scelto proprio di mettere dopo 1/2 proprio $(x^2+y^2)$, perchè c'è al denominatore $sqrt(x^2+y^2)$ o è così in generale?
Risposte
La tecnica è sempre la stessa, solo che ora devi mettere al lavoro il limite fondamentale del coseno...
Insomma questo:
$lim_(z\to 0) (1-cosz)/z^2=1/2 \quad$;
quindi devi dividere e moltiplicare per $z^2=(xy)^2$, non per $z=xy$.
Fatto questo riesci a scrivere la funzione come prodotto di due funzioni: una regolare (per il suddetto limite fondamentale), l'altra di cui non sai ancora nulla.
Insomma questo:
$lim_(z\to 0) (1-cosz)/z^2=1/2 \quad$;
quindi devi dividere e moltiplicare per $z^2=(xy)^2$, non per $z=xy$.
Fatto questo riesci a scrivere la funzione come prodotto di due funzioni: una regolare (per il suddetto limite fondamentale), l'altra di cui non sai ancora nulla.
gugo sempre grazie però non mi trovo su una cosa, grande l'idea di fare l'altro limite notevole:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-cos(xy)^2)/(xy)^2$ però cioè il fatto di aver moltiplicato per xy il numeratore della frazione per un $xy$ ce non c'era non me lo dovrebbe far togliere da un'altra parte,cioè mi spiego:
$(1-cos(xy)^2)/(xy)^2*(xy)^2/(x^2+y^6)$, è un pò come se fosse un'altra funzione, infatti poi la seconda frazione riuscirei a risolverla:
$x^2<=(x^2+y^6)$ e poi $0<=(x^2y^2)/(x^2+y^6)<=y^2<=y^2+x^2$, questo ultimo passaggio penso che sia giusto , quello che non mi convince è l'inizio cioè aver messo (xy)^2 senza poi toglierlo nell'altra frazione, dimmi te.
$lim_((x,y)->(0,0))(1-cos(xy)^2)/(xy)^2$ però cioè il fatto di aver moltiplicato per xy il numeratore della frazione per un $xy$ ce non c'era non me lo dovrebbe far togliere da un'altra parte,cioè mi spiego:
$(1-cos(xy)^2)/(xy)^2*(xy)^2/(x^2+y^6)$, è un pò come se fosse un'altra funzione, infatti poi la seconda frazione riuscirei a risolverla:
$x^2<=(x^2+y^6)$ e poi $0<=(x^2y^2)/(x^2+y^6)<=y^2<=y^2+x^2$, questo ultimo passaggio penso che sia giusto , quello che non mi convince è l'inizio cioè aver messo (xy)^2 senza poi toglierlo nell'altra frazione, dimmi te.
Scusa, ma hai semplicemente moltiplicato e diviso per $(xy)^2$, quindi qual è il problema?
Insomma, hai scritto:
$(1-cos(xy))/(x^2+y^6)=(1-cos (xy))/(xy)^2*(xy)^2/(x^2+y^6)$
un po' come fare $3/5=3/2*2/5$... No?
Ad ogni modo, bravo la soluzione è quella che hai proposto (vedi che a furia di fare esercizi ci si fa l'occhio?
).
Insomma, hai scritto:
$(1-cos(xy))/(x^2+y^6)=(1-cos (xy))/(xy)^2*(xy)^2/(x^2+y^6)$
un po' come fare $3/5=3/2*2/5$... No?
Ad ogni modo, bravo la soluzione è quella che hai proposto (vedi che a furia di fare esercizi ci si fa l'occhio?
).
gugo sei un mito, quasi una fonte d'ispirazione, 
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