Risoluzione limite con equivalenze asintotiche
Salve, ho un problema nel risolvere il seguente limite utilizzando le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli:
$lim_(x->0)ln(2-sin^2(3x)/sin^3(ln(1+2x)))$
seguono i passaggi che ho provato a fare:
per $x->0$ valgono le seguenti equivalenze asintotiche:
$sin^2(3x)$ è asintoticamente equivalente a $(3*x)^2$
$sin^3(ln(1+2x))$ è asintoticamente equivalente a $ln^3(1+2x)$
e dunque
$ln(1+2x)$ è asintoticamente equivalente a $(2*x)^3$
il che significa che
$sin^3(ln(1+2x))$ è asintoticamente equivalente a $(2*x)^3$
applicando le equivalenze asintotiche esce fuori questo limite:
$lim_(x->0)ln(2-(3*x)^2/(2*x)^3) = lim_(x->0)ln(2 - (9x^2)/(8x^3)) = lim_(x->0)ln(2 - 9/(8x)) = ln(2- infty) = ln(- infty)$
tale risultato non è possibile perchè il logaritmo ammete valori $>0$
non ho nessuna soluzione, WolframAlpha dice che il limite è uguale a $infty$
Grazie in anticipo a chi risponderà.
$lim_(x->0)ln(2-sin^2(3x)/sin^3(ln(1+2x)))$
seguono i passaggi che ho provato a fare:
per $x->0$ valgono le seguenti equivalenze asintotiche:
$sin^2(3x)$ è asintoticamente equivalente a $(3*x)^2$
$sin^3(ln(1+2x))$ è asintoticamente equivalente a $ln^3(1+2x)$
e dunque
$ln(1+2x)$ è asintoticamente equivalente a $(2*x)^3$
il che significa che
$sin^3(ln(1+2x))$ è asintoticamente equivalente a $(2*x)^3$
applicando le equivalenze asintotiche esce fuori questo limite:
$lim_(x->0)ln(2-(3*x)^2/(2*x)^3) = lim_(x->0)ln(2 - (9x^2)/(8x^3)) = lim_(x->0)ln(2 - 9/(8x)) = ln(2- infty) = ln(- infty)$
tale risultato non è possibile perchè il logaritmo ammete valori $>0$
non ho nessuna soluzione, WolframAlpha dice che il limite è uguale a $infty$
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Ciao Al3xZx.
Le approssimazioni mi sembrano tutte corrette, ma nota che alla fine hai fatto solo il limite per $x \to 0^\color{red}+$ ...
Le approssimazioni mi sembrano tutte corrette, ma nota che alla fine hai fatto solo il limite per $x \to 0^\color{red}+$ ...
Okay, grazie mille, dunque la soluzione è la seguente ??
dopo aver ottenuto il seguente limite mediante le equivalenze asintotiche:
$lim_(x->0) ln(2-9/(8x))= "non esiste"$
essendo che $lim_(x->0)f(x)= non\ esiste$ devo calcolare i limiti per $x->0^-\ e\ x->0^+$
$lim_(x->0^-) ln(2-9/(8x))= ln(2-9/0^-) = ln(2-(-infty))=ln(+infty)=+infty$
$lim_(x->0^+) ln(2-9/(8x))= ln(2-9/0^+) = ln(2-(+infty))=ln(-infty)=\ non\ esiste$
$"dunque esiste limite infinito solo per "x->0^-$
$"mentre non esiste il limite per " x->0^+ "e dunque non esiste limite per "x->0$
Grazie mille per la risposta ho avuto una svista
.
dopo aver ottenuto il seguente limite mediante le equivalenze asintotiche:
$lim_(x->0) ln(2-9/(8x))= "non esiste"$
essendo che $lim_(x->0)f(x)= non\ esiste$ devo calcolare i limiti per $x->0^-\ e\ x->0^+$
$lim_(x->0^-) ln(2-9/(8x))= ln(2-9/0^-) = ln(2-(-infty))=ln(+infty)=+infty$
$lim_(x->0^+) ln(2-9/(8x))= ln(2-9/0^+) = ln(2-(+infty))=ln(-infty)=\ non\ esiste$
$"dunque esiste limite infinito solo per "x->0^-$
$"mentre non esiste il limite per " x->0^+ "e dunque non esiste limite per "x->0$
Grazie mille per la risposta ho avuto una svista
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Ciao a tutti e due @Al3xZx e @ValeForce !
Mi permetto di intromettermi in questa discussione solo per precisare un punto sul quale anche io, più di una volta e fino a non molto tempo fa, ho sbattuto la testa e cioè l'uso di software di calcolo tipo Wolfram Alpha per valutare il risultato.
@Al3xZx non fidarti ciecamente di software come Wolfram Alpha per verificare i tuoi risultati !
Ti dico questo non perché questi software sbaglino (anche se immagino sia possibile in base alla programmazione), ma, più che altro, perché non è detto che nel calcolare quello che ti serve usino le tue stesse ipotesi di partenza. Mi spiego meglio. A mio parere (anche se non ne ho la conferma e quindi prendi con le pinze quello che dico) nel caso specifico della tua funzione noi ragioniamo con una funzione definita nel campo dei reali, per cui il dominio è $R-]0,0.7[$ con 0.7 valore approssimato che vedo dal grafico. Per trovare questo dominio è impensabile svolgere rapidamente i calcoli e mi sono basato sul grafico disegnato da Wolfram Alpha. Dunque è normale che in $R$ non sia possibile fare $lim_(x -> 0^+) f(x)$ nei reali. Tuttavia, se osservi il grafico di Wolfram Alpha, è possibile vedere anche il grafico della stessa funzione valutata non più nel campo dei reali, ma in quello dei complessi (basta selezionare complex-valued plot). La mia ipotesi è che Wolfram Alpha piuttosto che dirti che $lim_(x -> 0^+) f(x)=$\(\nexists\) te lo calcola nel campo dei complessi, fornendoti una soluzione (giusta ? non saprei non avendo studiato analisi complessa) che a te non serve.
Infine @Al3xZx ti ricordo anche che, se non sbaglio, col simbolo $oo$ Wolfram Alpha indica solo $+oo$, mentre, in genere, sui libri di testo è sinonimo di $+-oo$
Chiedo scusa se sono intervenuto con cose superflue, ma spero di aver chiarito il perché Wolfram Alpha restituisca un risultato che a noi non torna evitando che qualcun altro perda su questo fatto tutto il tempo che ho perso io per capirlo.
Saluti
BayMax
P.S. Come verifica di ciò che ho detto ti invito anche a provare a calcolare il dominio (semplicemente scrivendo "domain") della funzione \(\sqrt[3]{x}\) e poi della funzione $x^(1/3)$ che spesso consideriamo equivalenti su tutto $R$, ma così non è.
Mi permetto di intromettermi in questa discussione solo per precisare un punto sul quale anche io, più di una volta e fino a non molto tempo fa, ho sbattuto la testa e cioè l'uso di software di calcolo tipo Wolfram Alpha per valutare il risultato.
"Al3xZx":.
non ho nessuna soluzione, WolframAlpha dice che il limite è uguale a ∞
@Al3xZx non fidarti ciecamente di software come Wolfram Alpha per verificare i tuoi risultati !
Ti dico questo non perché questi software sbaglino (anche se immagino sia possibile in base alla programmazione), ma, più che altro, perché non è detto che nel calcolare quello che ti serve usino le tue stesse ipotesi di partenza. Mi spiego meglio. A mio parere (anche se non ne ho la conferma e quindi prendi con le pinze quello che dico) nel caso specifico della tua funzione noi ragioniamo con una funzione definita nel campo dei reali, per cui il dominio è $R-]0,0.7[$ con 0.7 valore approssimato che vedo dal grafico. Per trovare questo dominio è impensabile svolgere rapidamente i calcoli e mi sono basato sul grafico disegnato da Wolfram Alpha. Dunque è normale che in $R$ non sia possibile fare $lim_(x -> 0^+) f(x)$ nei reali. Tuttavia, se osservi il grafico di Wolfram Alpha, è possibile vedere anche il grafico della stessa funzione valutata non più nel campo dei reali, ma in quello dei complessi (basta selezionare complex-valued plot). La mia ipotesi è che Wolfram Alpha piuttosto che dirti che $lim_(x -> 0^+) f(x)=$\(\nexists\) te lo calcola nel campo dei complessi, fornendoti una soluzione (giusta ? non saprei non avendo studiato analisi complessa) che a te non serve.
Infine @Al3xZx ti ricordo anche che, se non sbaglio, col simbolo $oo$ Wolfram Alpha indica solo $+oo$, mentre, in genere, sui libri di testo è sinonimo di $+-oo$
Chiedo scusa se sono intervenuto con cose superflue, ma spero di aver chiarito il perché Wolfram Alpha restituisca un risultato che a noi non torna evitando che qualcun altro perda su questo fatto tutto il tempo che ho perso io per capirlo.
Saluti
BayMax
P.S. Come verifica di ciò che ho detto ti invito anche a provare a calcolare il dominio (semplicemente scrivendo "domain") della funzione \(\sqrt[3]{x}\) e poi della funzione $x^(1/3)$ che spesso consideriamo equivalenti su tutto $R$, ma così non è.
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