Risoluzione limite

[Kindot]

mi aiutereste a risolvere questo limite nel modo più rapido possibile?

lim x->+infinito ln(1-(3/x^2))/(sen(1/x^3)+2arctan(2/x^2))

ho applicato hopital ma credo di aver fatto un disastro, il mio risultato sarebbe 6.

Grazie!

[ciampax]

Il limite è questo, mi pare

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}{\sin(1/x^3)+2\arctan(2/x^2)}[/math]

Il modo più rapido è il seguente: posto

[math]t=1/x[/math]

in modo che

[math]t\to 0^+[/math]

puoi scrivere il limite come

[math]\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-3t^2)}{\sin(t^3)+2\arctan(2t^2)}[/math]

Il confronto locale per le funzioni logaritmo, seno e arcotangente ti porta allora a scrivere che

[math]\lim_{t\to 0^+}\frac{-3t^2}{t^3+4t^2}=\lim_{t\to 0^+}\frac{-3t^2}{t^2(t+4)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{-3}{t+4}=-\frac{3}{4}[/math]

[Kindot]

Intanto ti ringrazio per la risposta, ma è possibile che ci sia qualche errore visto che sul calcolatore online mi dava come risultato -3/4?

[ciampax]

Sì, scusa, mi sono scordato il 2 davanti all'arcotangente. Corretto.