Risoluzione limite (217210)

[Kindot]

Salve a tutti, mi sapreste risolvere questo limite?

lim_(x->infinity) sqrt(x) cos^(-1)(1-1/x)

il risultato dovrebbe essere radice di 2.

Grazie in anticipo!

[mc2]

Da quello che hai scritto si intende:

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\cos(1-\frac{1}{x})}[/math]

ma il risultato e` infinito.

[Kindot]

no è radice di x per arcocoseno, non fratto, il resto è giusto, scusami ma non so scrivere le formule :S

[mc2]

Scusa, l'arcocoseno non l'avevo proprio capito...

Inoltre e` sottinteso che il limite e` da calcolare per

[math]x\to +\infty[/math]

(altrimenti la radice non avrebbe senso), ma questo e` ovvio.

Quindi il limite da calcolare e`

[math]\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}\,\mbox{arccos}\left(1-\frac{1}{x}\right)=[/math]

[math]=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\mbox{arccos}\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x^{-1/2}}=[/math]

Uso la regola di de L'Hopital

[math]=\lim\limits_{x\to +\infty}
\frac{-\frac{1}{\sqrt{1-\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}}\cdot\frac{1}{x^2}}
{-\frac{1}{2}x^{-3/2}}=
[/math]

[math]=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^{3/2}}{
x^2\sqrt{\frac{2x-1}{x^2}}}=[/math]

[math]=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2\sqrt{x}}{
\sqrt{2x-1}}= \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{4x}{2x-1}}=\sqrt{2}
[/math]

Alternativamente si puo` fare il cambio di variabile

[math]y=1/x[/math]

per cui il limite da calcolare diventa:

[math]\lim\limits_{y\to 0^+}\frac{\mbox{arccos}(1-y)}{\sqrt{y}}[/math]

ed i calcoli con l'Hopital sono un po' piu` semplici (te lo lascio per esercizio :pp )