Risoluzione $lim_(x ->+oo) (1/ln(x+3))^(x+2)$

[kotek]

Ciao a tutti,
non riesco proprio a risolvere questo limite, qualcuno mi può aiutare?

$lim_(x ->+oo) (1/ln(x+3))^(x+2)$

Io avevo tentato così:

pongo $ln(x+3)=y$

segue che:

$x=e^y-3$

In questo modo ho:

$lim_(y ->+oo) y^(3-e^y)$

...e fu così che mi bloccai...

[ciampax]

Hai praticamente finito: ora osserva che $y^{3-e^y}=y^3/{y^{e^y}}$ e ragiona su quale dei due tende a $+\infty$ più velocemente.

[kotek]

e mettiamo caso io non sapessi quale dei due tende a $+oo$ più velocemente, non ci sarebbe un modo algebrico, con proprio dei passaggi, che mi permetterebbero di risolvere il limite?

[Lorin1]

Per arrivare a fare dei limiti, un pochino più difficili, tipo questi qui, dovresti conoscere la gerarchia degli infiniti

[ciampax]

Ce ne sono tanti di modi in cui puoi lavorare. Ad esempio avresti potuto fare così: visto che (qui [tex]$\exp(t)=e^t$[/tex])

[tex]$\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right)^{x+2}=\exp\left[\log\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right)^{x+2}\right]=\exp\left[-(x+2)\log(\log(x+3)\right)]$[/tex]

e visto che tutta la roba tra parentesi quadre tende a $-\infty$, il limite vale $e^{-\infty}=0$ (usando una notazione un po' impropria ma efficace!)

[Raptorista1]

"kotek":
In questo modo ho:

$lim_(y ->+oo) y^(3-e^y)$

...e fu così che mi bloccai...

Prima o poi dovrete spiegarmi come fate a bloccarvi dove non c'è nemmeno forma di indeterminazione....

[ciampax]

Raptorista, sai, vedono $\infty^{-\infty}$ e si spaventano!

[Danying]

"ciampax":Ce ne sono tanti di modi in cui puoi lavorare. Ad esempio avresti potuto fare così: visto che (qui [tex]$\exp(t)=e^t$[/tex])

[tex]$\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right)^{x+2}=\exp\left[\log\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right)^{x+2}\right]=\exp\left[-(x+2)\log(\log(x+3)\right)]$[/tex]

e visto che tutta la roba tra parentesi quadre tende a $-\infty$, il limite vale $e^{-\infty}=0$ (usando una notazione un po' impropria ma efficace!)

da come vedo ti sei ricondotto ad $ e^(g(x)* logf(x))$ ; dalla forma $[f(x)]^g(x)$


hai scritto
[tex]\exp\left[\log\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right)^{x+2}\right][/tex] , ma come mai inserisci $(x+2)$ come esponenziale della funzione $f$ e non come prodotto ?? cioè [tex]\exp\left[\log\left(\frac{1}{\log(x+3)}\right) {(x+2)}\right][/tex]

$logf(x)$ lo vedo bene , ma non caspisco come mai la $g(x)$ non moltiplica ma viene messa ad esponenziale.


grazie .

[Raptorista1]

Per la [evidentemente non tanto] ben nota proprietà dei logaritmi per cui $a * ln b = ln b^a$.

[kotek]

scusate se rispondo con ritardo, grazie a voi ho risolto grazie mille