Risoluzione integrale triplo
Buonasera a tutti, sto cercando di preparare l'esame di analisi 2 e oggi stavo cercando di risolvere un integrale triplo ma sono incappata in un problema. L'integrale in questione è
$ int int int_(C)^() 2z dx dy dz $
Con
$ C={(x,y,z) in R³: 0<= y<= x², x²-2x+y²<= 0, 0<= z<= sqrt(xy)} $
Io risolvo l'integrale triplo per fili trovandomi quindi l'integrale doppio:
$ int int_()^() xydx dy $
Peró adesso sorge un problema: il mio dominio non è nè x normale nè y normale, quindi come posso risolvere questo integrale? Non ho idea di come impostare il dominio
Grazie in anticipo per l'eventuale risposta
$ int int int_(C)^() 2z dx dy dz $
Con
$ C={(x,y,z) in R³: 0<= y<= x², x²-2x+y²<= 0, 0<= z<= sqrt(xy)} $
Io risolvo l'integrale triplo per fili trovandomi quindi l'integrale doppio:
$ int int_()^() xydx dy $
Peró adesso sorge un problema: il mio dominio non è nè x normale nè y normale, quindi come posso risolvere questo integrale? Non ho idea di come impostare il dominio
Grazie in anticipo per l'eventuale risposta
Risposte
Giusto il procedimento di integrazione per fili, ti sei ridotta a calcolare un integrale doppio.
Quando sei in due dimensioni e non hai un dominio semplice consiglio sempre di disegnarlo e di trovarne quindi le intersezioni e, se serve, spezzare il calcolo in più integrali separati.
Ad esempio nel tuo caso il primo insieme è limitato tra l'asse delle x e una parabola, mentre il secondo è...
Lascio a te proseguire nell'impostazione, guarda dove si intersecano i due domini, identificando la regione di cui devi occuparti, e cerca di ridurti ad un calcolo più semplice.
Quando sei in due dimensioni e non hai un dominio semplice consiglio sempre di disegnarlo e di trovarne quindi le intersezioni e, se serve, spezzare il calcolo in più integrali separati.
Ad esempio nel tuo caso il primo insieme è limitato tra l'asse delle x e una parabola, mentre il secondo è...
Lascio a te proseguire nell'impostazione, guarda dove si intersecano i due domini, identificando la regione di cui devi occuparti, e cerca di ridurti ad un calcolo più semplice.
"Unia_Viljanen":
Buonasera a tutti, sto cercando di preparare l'esame di analisi 2 e oggi stavo cercando di risolvere un integrale triplo ma sono incappata in un problema. L'integrale in questione è
$ int int int_(C)^() 2z dx dy dz $
Con
$ C={(x,y,z) in R³: 0<= y<= x², x²-2x+y²<= 0, 0<= z<= sqrt(xy)} $
Io risolvo l'integrale triplo per fili trovandomi quindi l'integrale doppio:
$ int int_()^() xydx dy $
Peró adesso sorge un problema: il mio dominio non è nè x normale nè y normale, quindi come posso risolvere questo integrale? Non ho idea di come impostare il dominio
Grazie in anticipo per l'eventuale risposta
ti do solo un piccolo aiuto..
la disequazione, che hai.. cioè $ x^2-2x+y^2\leq 0 $
non è altro che una circonferenza con centro $ C=((1),(0)) $
te ne puoi accorgere facendo questa operazione
$ x^2-2x+1-1+y^2\leq0 \to (x-1)^2+y^2\leq 1 $
Ok ora come ha già detto l'altro utente.. disegna solo uno schizzo dell'insieme..
poi fai $x\in[..., ...]$ e la $y$ ce l'hai già nel testo.. si integro per fili!
Grazie a tutti per l'aiuto, supponendo quindi che x sia compreso tra 0 e 2 (l'ho visto dopo essermi fatta la figura secondo il vostro suggerimento, sperando sia corretta ), l'integrale doppio diventa x semplice e mi risulta 16/3. Potete per favore affermare o smentire il risultato? Dipende tutto dal fatto che io abbia o meno calcolato bene il dominio, grazie di nuovo per l'aiuto
), l'integrale doppio diventa x semplice e mi risulta 16/3. Potete per favore affermare o smentire il risultato? Dipende tutto dal fatto che io abbia o meno calcolato bene il dominio, grazie di nuovo per l'aiuto
"Unia_Viljanen":
Grazie a tutti per l'aiuto, supponendo quindi che x sia compreso tra 0 e 2 (l'ho visto dopo essermi fatta la figura secondo il vostro suggerimento, sperando sia corretta
a me viene $ 32/6 $
Dopo essere arrivati qui , perchè $x\in [0,2]$ e $y\in [0, x^2]$
$\int_(0)^(2)dx (\int_(0)^(x^2)xy dy)$
hai che
$ \int_(0)^(2)xdx (\int_(0)^(x^2)y dy)= \int_(0)^(2)x dx (y^2/2 |_(0)^(x^2)) = \int_(0)^(2)x \cdot (x^4)/(2)dx$
quindi
$ 1/2 \int_(0)^(2)x^5dx = 1/2 (x^6/6|_(0)^(2))= 1/2 \cdot (2^6)/(6)= 32/6 $
ti ricordo che $2^5=32$
Ciao,
ho calcolato anche io questo integrale; la mia perplessità è: non dovrebbe essere:
se $x in [0,1]$ allora $ 0\leq y \leq x^2$, mentre se $x in (1,2]$ si ha $0 \leq y leq\ sqrt(2x-x^2)$ ?
calcolando così mi viene $3/4$
ho calcolato anche io questo integrale; la mia perplessità è: non dovrebbe essere:
se $x in [0,1]$ allora $ 0\leq y \leq x^2$, mentre se $x in (1,2]$ si ha $0 \leq y leq\ sqrt(2x-x^2)$ ?
calcolando così mi viene $3/4$
"Ziben":
Ciao,
ho calcolato anche io questo integrale; la mia perplessità è: non dovrebbe essere:
se $x in [0,1]$ allora $ 0\leq y \leq x^2$, mentre se $x in (1,2]$ si ha $0 \leq y leq\ sqrt(2x-x^2)$ ?
calcolando così mi viene $3/4$
perchè dici che la $x\in [0,1]$ ?
fai un disegno.. e ti accorgi!.. ti ricordo che il diametro è il doppio del raggio!
il disegno me lo sono fatto.
Secondo me il dominio è l'area colorata in rosso ecco perché spezzo l'integrale in 2:
$\int_0^1x(\int_0^(x^2)ydy)dx + \int_1^2x(\int_0^(sqrt(2x-x^2))ydy)dx$
Dove sbaglio?
Secondo me il dominio è l'area colorata in rosso ecco perché spezzo l'integrale in 2:
$\int_0^1x(\int_0^(x^2)ydy)dx + \int_1^2x(\int_0^(sqrt(2x-x^2))ydy)dx$
Dove sbaglio?
la zona in rosso è giusta..
Solo che io non avrei spezzato l'integrale..
MA penso che sia più giusta, la tua soluzione..
Anzi.. SI .. penso che sia più esatta la tua soluzione!..
Il forum è bello per questo.. ci si confronta
Solo che io non avrei spezzato l'integrale..
MA penso che sia più giusta, la tua soluzione..
Anzi.. SI .. penso che sia più esatta la tua soluzione!..
Il forum è bello per questo.. ci si confronta
"21zuclo":
Il forum è bello per questo.. ci si confronta
Parole sante
Allora svolgendo bene i conti (gli ho controllati 3 volte) a me esce $13/24$
facendo quest'integrale
$ \int_(0)^(1)dx(\int_(0)^(x^2)xy \cdot dy)+\int_(1)^(2)dx (\int_(0)^(\sqrt(-x^2+2x))xy \cdot dy) $
Perchè
$ \int_(0)^(1)dx(\int_(0)^(x^2)xy \cdot dy)= 1/2(1/6)=1/12$
poi
$\int_(1)^(2)dx (\int_(0)^(\sqrt(-x^2+2x))xy \cdot dy) =11/24$
se si sommano i 2 risultati.. si ottiene $13/24$
facendo quest'integrale
$ \int_(0)^(1)dx(\int_(0)^(x^2)xy \cdot dy)+\int_(1)^(2)dx (\int_(0)^(\sqrt(-x^2+2x))xy \cdot dy) $
Perchè
$ \int_(0)^(1)dx(\int_(0)^(x^2)xy \cdot dy)= 1/2(1/6)=1/12$
poi
$\int_(1)^(2)dx (\int_(0)^(\sqrt(-x^2+2x))xy \cdot dy) =11/24$
se si sommano i 2 risultati.. si ottiene $13/24$
concordo, ho rifatto i calcoli, e mi tornano come a te (il mio primo risultato era errato).
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