Risoluzione integrale doppio con coordinate polari

[Anacleto13]

Buonasera,
Sono alle prese con la risoluzione di questo integrale ma non riesco a risolverlo:

Sia $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq \sqrt(2\pi), x^2+y^2\geq1\}$, calcolare $\int\int_Dxycos(x^2+y^2)$

Passando alle coordinate polari:

$\{(0\leq\rho\leq 1/cos\theta),(0\leq\rho\leq \sqrt(2\pi)/sin\theta),(\rho\geq1):}$

Quindi:

$\{(1\leq\rho\leq 1/cos\theta\text{ se }0\leq\theta\leq\pi/4),(1\leq\rho\leq \sqrt(2\pi)/sin\theta\text{ se }\pi/4\leq\theta\leq\pi/2):}$

$\int\int_\omega \rho^3sin\thetacos\thetacos(\rho^2)d\rhod\theta$

Ho iniziato a calcolare l'integrale, ma non sono sicuro dei risultati precedenti..Qualche idea?

[Mathita]

Non mi convincono gli intervalli di variazione di $\theta$. In ogni caso, penso che la strada che hai scelto sia impervia. Perché non provi a vedere l'insieme $D$ come l'insieme differenza tra il rettangolo $R=[0,1]\times [0, \sqrt{2\pi}]$ e la parte di cerchio , di centro $(0,0)$ e raggio 1, che giace nel primo quadrante $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge 0, y\ge 0, x^2+y^2<1\}$?

L'integrale su $D$ coincide con la differenza tra l'integrale sul rettangolo $R$ (risolvibile con le formule di riduzione) e l'integrale sul quarto di cerchio $C$ (risolvibile per sostituzione). Prova e fammi sapere.

[Anacleto13]

"Mathita":Non mi convincono gli intervalli di variazione di $\theta$. In ogni caso, penso che la strada che hai scelto sia impervia. Perché non provi a vedere l'insieme $D$ come l'insieme differenza tra il rettangolo $R=[0,1]\times [0, \sqrt{2\pi}]$ e la parte di cerchio , di centro $(0,0)$ e raggio 1, che giace nel primo quadrante $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge 0, y\ge 0, x^2+y^2<1\}$?

L'integrale su $D$ coincide con la differenza tra l'integrale sul rettangolo $R$ (risolvibile con le formule di riduzione) e l'integrale sul quarto di cerchio $C$ (risolvibile per sostituzione). Prova e fammi sapere.

Grazie Mathita,
Son riuscito a risolverlo "facilmente" applicando quanto detto sopra.[nota]Mi piacerebbe scriverlo ma son tanti passaggi[/nota]