Risoluzione integrale doppio
Ho incontrato difficoltà in questo esercizio:
$\int int ((5y)/(7-x)) dxdy$
$D={(x,y): x^2+y^2>=1 ; x^2/4+y^2<=1 ; x>=0 ; y>=0}$
Quando ho un'ellisse la riconduco ad un cerchio deformandola, applicando poi il passaggio in coordinate polari. In questo caso invece, avendo sia un cerchio che un ellisse, quando pongo (e sostituisco nel dominio):
$\{(x=2u),(y=v):}$
anche il cerchio si deforma diventando un'ellisse. Diversamente, se opero tale sostituzione solo nell'ellisse avrò un dominio in 4 variabili $x, y, u, v$ e da qui non so continuare. Qualcuno sa indicarmi il procedimento corretto ?
$\int int ((5y)/(7-x)) dxdy$
$D={(x,y): x^2+y^2>=1 ; x^2/4+y^2<=1 ; x>=0 ; y>=0}$
Quando ho un'ellisse la riconduco ad un cerchio deformandola, applicando poi il passaggio in coordinate polari. In questo caso invece, avendo sia un cerchio che un ellisse, quando pongo (e sostituisco nel dominio):
$\{(x=2u),(y=v):}$
anche il cerchio si deforma diventando un'ellisse. Diversamente, se opero tale sostituzione solo nell'ellisse avrò un dominio in 4 variabili $x, y, u, v$ e da qui non so continuare. Qualcuno sa indicarmi il procedimento corretto ?
Risposte
se riesci ad inquadrare il dominio che stai cercando ti renderai conto che non ti servono neanche le parametrizzazioni 
Il dominio è questo tratteggiato con le linee nere:
http://img828.imageshack.us/img828/6033/intb.jpg
Non occorre parametrizzare :S ?
http://img828.imageshack.us/img828/6033/intb.jpg
Non occorre parametrizzare :S ?
Certo che occorre parametrizzare! Io poi continuerei con gauss-green però!
ops..scusa ekans ho confuso il post xD..comunque si è come dice Mr!
P.S. perchè utilizzare gauss-green? non basta applicare il teorema di cambiamento delle variabili? Mr saresti così gentile da illuminarmi?
P.S. perchè utilizzare gauss-green? non basta applicare il teorema di cambiamento delle variabili? Mr saresti così gentile da illuminarmi?
Beh secondo me in questo caso gauss-green semplifica un pò le cose! Anche se bisogna fare ben quattro parametrizzazioni! (Quali? ) Applicare il teorema del cambiamento di variabili sarebbe sicuramente meglio, ma dato che non sono bravissimo nel trovare la sostituzione preferisco gauss-green! 
Tu quale cambiamento di variabili faresti?
Tu quale cambiamento di variabili faresti?
Non ho ben chiaro lo schema risolutivo dai voi proposto, potreste indicarmi qualche esempio svolto simile al mio ?
http://www.google.com/search?client=ubu ... 8&oe=utf-8
Il primo della lista mi ha aiutato ad entrare nel meccanismo con il metodo che porponeva paolo, purtroppo per quello che ti proponevo io non riesco a trovarne! Hai fatto il teorema di Gauss-Green?
Il primo della lista mi ha aiutato ad entrare nel meccanismo con il metodo che porponeva paolo, purtroppo per quello che ti proponevo io non riesco a trovarne! Hai fatto il teorema di Gauss-Green?
Beh Mr io avrei parametrizzato con le solite equazioni dell'ellisse..però ora che ci sto provando vedo che è alquanto ingarbugliato il discorso xD...mmmm in sostanza parametrizzando la funzione mi si complica l'intera espressione perchè ci sono quegli $a$ e $b$ da considerare! Posso parametrizzare il tutto con un raggio $\rho$ ? anche se questo non mi semplificherà molto i calcoli eheh xD
P.S. è lo stesso problema che ho riscontrato in un esercizio gentilmente proposto dal Mr
in quanto non sono molto bravo con figure di questo tipo (una figura inscritta in un altra). Ci sarebbe un metodo a mio parere sicuro ma ci vorrebbe troppo tempo per svolgerlo e non sarebbe da vero MATEMATICO questo comportamento!
P.S. è lo stesso problema che ho riscontrato in un esercizio gentilmente proposto dal Mr
in quanto non sono molto bravo con figure di questo tipo (una figura inscritta in un altra). Ci sarebbe un metodo a mio parere sicuro ma ci vorrebbe troppo tempo per svolgerlo e non sarebbe da vero MATEMATICO questo comportamento!
nono, un metodo così non va bene! Perchè dopo rischi di non prenderti la parte inferiore! Perciò ti parametrizzi le quattro curve, di cui due sono segmenti, uno lo fai come dicevi tu e l'altra è una circonferenza, ancora più semplice! E' chiaro?
:S...no veramente no! xD
Bene! Allora facciamo tutto per bene. Le parametrizzazioni sono:
$ { ( x=t ),( y=0 ):} t in [1,2] $ è il segmento in basso,
$ { ( x=2cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la parte dell'ellisse,
$ { ( x=cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la circonferenza. Ci troviamo?
Allora facciamo tutto per bene. Le parametrizzazioni sono:$ { ( x=t ),( y=0 ):} t in [1,2] $ è il segmento in basso,
$ { ( x=2cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la parte dell'ellisse,
$ { ( x=cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la circonferenza. Ci troviamo?
si si mi trovo! Quindi dici di fare tutti e tre gli integrali e poi sommarli?
Quindi dici di fare tutti e tre gli integrali e poi sommarli?
"Mrhaha":
Bene!
$ { ( x=t ),( y=0 ):} t in [1,2] $ è il segmento in basso,
$ { ( x=2cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la parte dell'ellisse,
$ { ( x=cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $ è la circonferenza. Ci troviamo?
questo metodo mi è nuovo, la sostituzione l'ho capita, ma come si opera da qui in poi nella risoluzione dell'esercizio ?
vedi ekans Mr non ha fato altro che ridurre il problema in tre integrali (più precisamente integrali di linea) e una volta calcolati con le parametrizzazioni scritte sopra basta sommarli . Davvero ottima idea Mr
. Davvero ottima idea Mr
Ho capito, più tardi o domani posto la soluzione completa per verifica.
ho provato a svolgere l'esercizio secondo le vostre indicazioni, ma il terzo integrale curvilineo, quello per l'ellisse, è qualcosa di assurdo. Viene così:
$\int_{0}^{pi/2} (5sint)/(7-2sint)sqrt(4sin^2t+cos^2t) dt$
la soluzione con derive è lunga una pagina , quindi mi/vi chiedo, risolvere l'integrale nel seguente modo, è sbagliato ?
$\int_{0}^{1} dy \int_{sqrt(1-y^2)}^{sqrt(4(1-y^2))} (5y)/(7-x) dx $
l'integrale in $dy$ varia da $0$ a $1$, mentre in quello in $dx$ ho ottenuto gli estremi ricavando la x dalle equazioni dell'ellisse e del cerchio. In altre parole questo modello di risoluzione è analogo a quello che mi ha consigliato mrhaha in questo link http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _doppi.pdf
non vedo altri modi possibili per risolvere questo esercizio, che essendo assegnato in un compito non può essere eccessivamente difficile.
$\int_{0}^{pi/2} (5sint)/(7-2sint)sqrt(4sin^2t+cos^2t) dt$
la soluzione con derive è lunga una pagina
, quindi mi/vi chiedo, risolvere l'integrale nel seguente modo, è sbagliato ?$\int_{0}^{1} dy \int_{sqrt(1-y^2)}^{sqrt(4(1-y^2))} (5y)/(7-x) dx $
l'integrale in $dy$ varia da $0$ a $1$, mentre in quello in $dx$ ho ottenuto gli estremi ricavando la x dalle equazioni dell'ellisse e del cerchio. In altre parole questo modello di risoluzione è analogo a quello che mi ha consigliato mrhaha in questo link http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _doppi.pdf
non vedo altri modi possibili per risolvere questo esercizio, che essendo assegnato in un compito non può essere eccessivamente difficile.
scusa ekans ma ho risolto anche io in questo modo prima di consigliarti di parametrizzare ma ho escluso questo metodo di risoluzione semplicemente perchè avevo dei sospetti sul risultato! potresti dirci qual'è il risultato?
Ragazzi non correte! Non è proprio così, dovete utilizzare il seguente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green. Il passaggio come lo avete fatto voi non è corretto! Lo si può fare quel passaggio se utilizziamo o la derivata parziale su o su y cambiando opportunamente il segno. Quindi utilizzando questo teorema mostratemi i passaggi!
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green. Il passaggio come lo avete fatto voi non è corretto! Lo si può fare quel passaggio se utilizziamo o la derivata parziale su o su y cambiando opportunamente il segno. Quindi utilizzando questo teorema mostratemi i passaggi!
non l'ho calcolato a mano, ma con derive, ecco la soluzione:
"Mrhaha":
Ragazzi non correte! Non è proprio così, dovete utilizzare il seguente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green. Il passaggio come lo avete fatto voi non è corretto! Lo si può fare quel passaggio se utilizziamo o la derivata parziale su o su y cambiando opportunamente il segno. Quindi utilizzando questo teorema mostratemi i passaggi!
non ho studiato questo teorema
in seguito alle parametrizzazioni che hai postato sono andato a studiarmi l'integrale curvilineo, e ho visto che si calcola nel modo in cui ho postato prima, cioè: 1) per ogni parametrizzazione si calcola l'integrale sostituendo ad $x$ e $y$ i valori indicati nel sistema, e integrando nell'intervallo di $t$.
2)sotto il segno di integrale occorre però moltiplicare per la radice della somma delle derivate dei valori che si sono sostutuiti ad $x$ e $y$ nel sistema. nel caso dell'ellisse ( $ { ( x=2cos t ),( y=sen t ):} t in [0 , pi/2] $) l'integrale veniva così:
$\int_{0}^{pi/2} (5sint)/(7-2sint)sqrt(4sin^2t+cos^2t) dt$
Il punto è che non riesco a calcolare questo integrale, perchè la radice complica troppo le cose, e a giudicare dalla soluzione di derive, che è lunghissima, questo integrale è troppo complesso da calcolare.
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