Risoluzione integrale (compito d'esame)

[smaug1]

\(\displaystyle \int e^{-x} log (e^{2x} +4 ) \)

Potrebbe portarmi a qualcosa dire che :

\(\displaystyle
t = e^{-x} \) \(\displaystyle ; \)

\(\displaystyle dx = - e^{-x} dt \)

[albertobosia]

raccogli un po' di roba
\(\displaystyle\int e^{-x}\log(e^{2x}+4)\text dx=\int e^{-x}\log(e^{2x}(1+4e^{-2x}))\text dx=\)
\(\displaystyle\int e^{-x}\left(\log(e^{2x})+\log(4e^{-2x})\right)\text dx=\int2xe^{-x}\text dx+\int e^{-x}\log(4(e^{-x})^2)\text dx\)

[smaug1]

$\int 2x e ^{-x} = -2e^{-x}(x+1)$ risolto per parti

Per l'altro ancora non ho idee

[albertobosia]

dai, però. prova ad impegnarti un po' di più: è praticamente risolto.

\(\displaystyle\int e^{-x}\log(4(e^{-x})^2)\text dx=\int e^{-x}\left(\log(4)+\log((e^{-x})^2)\right)\text dx=\log4\int e^{-x}\text dx+\int e^{-x}\log((e^{-x})^2)\text dx\)



\(\displaystyle\int e^{-x}\log((e^{-x})^2)\text dx=2\int e^{-x}\log(e^{-x})\text dx=2\int-xe^{-x}\text dx\)

[smaug1]

Io ero andato subito fuori strada vedendo quel $e^{-x}$ nell'argomento del logaritmo e fuori, pensando ad una sostituzione, bravo e grazie alberto...