Risoluzione integrale

[Slashino1]

$ int_( )^( ) (a^(2) + x^(2))^(-3/2) dx $

Avrei difficoltà a risolvere il seguente integrale. Ho provato per parti e per sostituzione ( visto che non riesco a ricondurlo ad alcuna forma nota direttamente ) ma non arrivo a nulla. C è qualcuno che mi possa aiutare?

[Giuly191]

Eh direi di no!

[Slashino1]

Allora, ho ragionato così: $ D(tht)=D((sht)/(cht)) = ((cht)^(2) - (sht)^(2))/(cht)^(2) $, ma poichè $ (cht)^(2) - (sht)^(2)= 1 $, abbiamo $ 1/((cht)^(2)) $ ..ricordando poi che l'integrale è l'inverso della derivata...Dove ho sbagliato?

[Giuly191]

Scusami hai ragione! Hai fatto bene, ora sostituisci di nuovo!

[Slashino1]

Perfetto, spezzando la tangente arrivo al risultato corretto A breve posto la risoluzione!

Dov è l'errore?

[Giuly191]

Il primo errore che vedo è nel raggruppamento di a, ricordati che l'esponente del binomio è negativo!

[Slashino1]

$ int(a^2+a^2sht^2)^(-3/2)dx=int(a^2(1+sht^2))^(-3/2)dx=a^-3int(1+sht^2)^(-3/2)dx $ ma poichè $ 1+ sht^2=cht^2 $ e $ dx=achtdt $ arriviamo a $ a^-3int(cht^2)^(-3/2)chtdt=a^-3int(1/(cht^2))dt=a^-3tht=a^-3((sht)/(cht)) $ e risostituendo l'incognita originale dalla relazione $ t=arcsh(x/a) $ abbiamo $ a^-3((sharchsh(x/a))/(archsh(x/a))) = a^-3((x/a)/sqrt(1+(x^2)/a^2)) =(a^-2x)/((1/a)sqrt(a^"+x^2)) = x/(asqrt(a^2+x^2) $

Grazie mille per l'aiuto, scusate per essere stato "ossessivo"