Risoluzione integrale
$ int_( )^( ) (a^(2) + x^(2))^(-3/2) dx $
Avrei difficoltà a risolvere il seguente integrale. Ho provato per parti e per sostituzione ( visto che non riesco a ricondurlo ad alcuna forma nota direttamente ) ma non arrivo a nulla. C è qualcuno che mi possa aiutare?
Avrei difficoltà a risolvere il seguente integrale. Ho provato per parti e per sostituzione ( visto che non riesco a ricondurlo ad alcuna forma nota direttamente ) ma non arrivo a nulla. C è qualcuno che mi possa aiutare?
Risposte
Ehm... non si capisce niente. Hai guardato come scrivere le formule? (clicca)
Ho corretto 
spero si capisca ora
spero si capisca ora
Sostituzione... con cosa? Hai provato con questa [tex]$x=a\sinh(t)$[/tex] (la funzione seno iperbolico)? Oppure, se non conosci le funzioni iperboliche, usa questa [tex]$\sqrt{a^2+x^2}=x+t$[/tex] e ricava il valore di $x$ in funzione di $t$ dall'equazione che ne viene fuori.
potresti utilizzare anche questa sostituzione: $atan(t)=x$
Grazie mille, adesso scendo a mangiare una pizza...domani provo.. 
L'ho risolto con la sostituzione suggerita da ciampax visto che con l'altra arrivavo ad un vicolo cieco! Non posto la soluzione perchè è abbastanza calcolosa, grazie mille comunque 
Il mio libro fa l' esempio di $intsqrt(a^2-x^2)$ e pone la sostituzione $x=acos(t)$.. forse è più facile della sostituzione con la tangente, prova anche questo.
Se mi permettete, vorrei chiarire un punto della faccenda.
Consideriamo gli integrali:
(1) [tex]$\int R(\sqrt{a^2+x^2})\ \text{d} x$[/tex] e (2) [tex]$\int R(\sqrt{a^2-x^2})\ \text{d} x$[/tex],
in cui [tex]$R(t)$[/tex] è una funzione razionale di [tex]$t$[/tex] (ossia si esprime come rapporto tra due polinomi in [tex]$t$[/tex]), e mostriamo che essi possono in ogni caso essere razionalizzati, nel senso che essi possono sempre essere ricondotti ad integrali di funzioni razionali mediante opportune sostituzioni.
Se in [tex]$R(t)$[/tex] figurano solo esponenti pari (ad esempio se [tex]$R(t):=\tfrac{t^4}{1+t^2}$[/tex]), allora entrambi gli integrali sono già integrali razionali, quindi siamo a posto.
Supponiamo allora che in [tex]$R(t)$[/tex] figuri almeno un esponente dispari: in tal caso, tali integrali si possono ricondurre ad integrali trigonometrici circolari od iperbolici.
Se in (1) si fa la sostituzione (a) [tex]$x=a\sinh t$[/tex] ed in (2) la sostituzione (b) [tex]$x=a \sin t$[/tex], allora l'integrale (1) diventa:
(1') [tex]$\int R(a\cosh t)\ a\cosh t\ \text{d} t$[/tex],
e, ricordato che [tex]$\cosh t=\tfrac{1}{2} (e^t-\tfrac{1}{e^t})$[/tex], quest'ultimo è un integrale razionale di [tex]$e^t$[/tex] il quale si razionalizza con la sostituzione standard [tex]$u=e^t$[/tex]; l'integrale (2), invece, diviene:
(2') [tex]$\int R(a\cos t)\ a\cos t\ \text{d} t$[/tex],
il quale è un integrale razionale in solo coseno, quindi si razionalizza di nuovo con tecniche standard (ossia usando le formule parametriche in [tex]$u=\tan \tfrac{t}{2}$[/tex], o quelle più semplici in [tex]$u=\tan t$[/tex] a seconda dei casi).
Perchè tali sostituzioni (a) e (b) funzionano sempre?
Beh, perchè valgono le relazioni fondamentali della trigonometria circolare ed iperbolica, cioè:
[tex]$\cosh^2 t-\sin^2 t=1$[/tex] e [tex]$\cos^2 t+\sin^2 =1$[/tex].
Consideriamo gli integrali:
(1) [tex]$\int R(\sqrt{a^2+x^2})\ \text{d} x$[/tex] e (2) [tex]$\int R(\sqrt{a^2-x^2})\ \text{d} x$[/tex],
in cui [tex]$R(t)$[/tex] è una funzione razionale di [tex]$t$[/tex] (ossia si esprime come rapporto tra due polinomi in [tex]$t$[/tex]), e mostriamo che essi possono in ogni caso essere razionalizzati, nel senso che essi possono sempre essere ricondotti ad integrali di funzioni razionali mediante opportune sostituzioni.
Se in [tex]$R(t)$[/tex] figurano solo esponenti pari (ad esempio se [tex]$R(t):=\tfrac{t^4}{1+t^2}$[/tex]), allora entrambi gli integrali sono già integrali razionali, quindi siamo a posto.
Supponiamo allora che in [tex]$R(t)$[/tex] figuri almeno un esponente dispari: in tal caso, tali integrali si possono ricondurre ad integrali trigonometrici circolari od iperbolici.
Se in (1) si fa la sostituzione (a) [tex]$x=a\sinh t$[/tex] ed in (2) la sostituzione (b) [tex]$x=a \sin t$[/tex], allora l'integrale (1) diventa:
(1') [tex]$\int R(a\cosh t)\ a\cosh t\ \text{d} t$[/tex],
e, ricordato che [tex]$\cosh t=\tfrac{1}{2} (e^t-\tfrac{1}{e^t})$[/tex], quest'ultimo è un integrale razionale di [tex]$e^t$[/tex] il quale si razionalizza con la sostituzione standard [tex]$u=e^t$[/tex]; l'integrale (2), invece, diviene:
(2') [tex]$\int R(a\cos t)\ a\cos t\ \text{d} t$[/tex],
il quale è un integrale razionale in solo coseno, quindi si razionalizza di nuovo con tecniche standard (ossia usando le formule parametriche in [tex]$u=\tan \tfrac{t}{2}$[/tex], o quelle più semplici in [tex]$u=\tan t$[/tex] a seconda dei casi).
Perchè tali sostituzioni (a) e (b) funzionano sempre?
Beh, perchè valgono le relazioni fondamentali della trigonometria circolare ed iperbolica, cioè:
[tex]$\cosh^2 t-\sin^2 t=1$[/tex] e [tex]$\cos^2 t+\sin^2 =1$[/tex].
scusate l'ignoranza ma $ sinh t $ che funzione è? Nel senso, non rappresenta per nulla la funzione seno dove l'argomento è espresso da una costante (h) per la variabile..giusto?
E' la funzione "seno iperbolico", che, tra l'altro, io indico di solito (è lo stesso) con $Sh(x)$.
Così $Ch(x)$ o indicata come $cosh(x)$ è il "coseno iperbolico.
$Sh(x)=(e^x-e^-x)1/2$
$Ch(x)=(e^x+e^-x)1/2$
Considera il ramo di iperbole quadrata $yx=1/2$ con $x,y>0$
e ruotalo di $\pi/4$ in verso orario, di modo cioè
che il suo asse coincida con l'asse delle $x$,
ed il ramo intersecherà questo asse nel punto $\Omega-=(1,0)$
Ora -stabilisci nel punto $\Omega$ l'origine
di una ascissa curvilinea $s$ che vada crescendo in verso orario.
(ovvero $s$ rappresenta la lunghezza con segno del ramo di iperbole: crescente
dall'origine $\Omega$ in verso orario, decrescente in verso antiorario: i
punti nel I quadrante hanno $s$ positivo, nel Iv hanno $s$ negativo$.)
Per un punto $P$ sul ramo di ascissa $s(P)$:
$x(P)=Ch(s),$
$y(P)=Sh(s)$.
Dal che si capisce il nome che le due funzioni hanno.
Così $Ch(x)$ o indicata come $cosh(x)$ è il "coseno iperbolico.
$Sh(x)=(e^x-e^-x)1/2$
$Ch(x)=(e^x+e^-x)1/2$
Considera il ramo di iperbole quadrata $yx=1/2$ con $x,y>0$
e ruotalo di $\pi/4$ in verso orario, di modo cioè
che il suo asse coincida con l'asse delle $x$,
ed il ramo intersecherà questo asse nel punto $\Omega-=(1,0)$
Ora -stabilisci nel punto $\Omega$ l'origine
di una ascissa curvilinea $s$ che vada crescendo in verso orario.
(ovvero $s$ rappresenta la lunghezza con segno del ramo di iperbole: crescente
dall'origine $\Omega$ in verso orario, decrescente in verso antiorario: i
punti nel I quadrante hanno $s$ positivo, nel Iv hanno $s$ negativo$.)
Per un punto $P$ sul ramo di ascissa $s(P)$:
$x(P)=Ch(s),$
$y(P)=Sh(s)$.
Dal che si capisce il nome che le due funzioni hanno.
Chiarissimo...grazie mille per l'approfondimento
Comunque ragazzi, tornando all'integrale, non riesco ad arrivare al risultato desiderato: $ int_( )^( ) (a^(2) + x^(2))^(-3/2) dx $ = $ a^2(x^2+a^2)^(-1/2) $ . Qualcuno che si trovi può aiutarmi?
Dubito che il risultato sia quello, ti basta derivarlo per accorgetene! C'ho messo un po' ma ce l'ho fatta, il risultato è $ x/(a^2sqrt(a^2+x^2)) $.
E' decisamente lungo da scrivere il procedimento, per lo meno quello che usato io! Ti dico solo che se hai sosituito con $x/a=Sht $ dovresti arrivare a dover integrare $ 1/(Ch^2t) $, a quel punto io ho spezzato scrivendo $ 1 = Ch^2t - Sh^2t $ e poi ho sfruttato la derivata di $ Tht $, non ho trovato un modo più veloce..
E' decisamente lungo da scrivere il procedimento, per lo meno quello che usato io! Ti dico solo che se hai sosituito con $x/a=Sht $ dovresti arrivare a dover integrare $ 1/(Ch^2t) $, a quel punto io ho spezzato scrivendo $ 1 = Ch^2t - Sh^2t $ e poi ho sfruttato la derivata di $ Tht $, non ho trovato un modo più veloce..
Si il risultato è quello scritto da te, c'era un mio errore di trascrizione...Provo con la tua sostituzione, grazie mille per l'interessamento ps: magari non potresti scannerizzare l'immagine?
ps: magari non potresti scannerizzare l'immagine?
Eh guarda potrei anche farlo ma l'ho risolto sul bordo di un foglio con scritta altra roba e altri esercizi in modo abbastanza caotico, non te lo consiglio proprio! XD Comunque non ho capito la storia dell'errore di trascrizione, in ogni caso sono abbastanza sicuro che sia giusto il mio risultato! Prova a farlo seguendo quello che ti ho detto, se arrivi a $1/(Ch^2t) $ sei a buon punto!
Ok prima però leggo qualcosa sulle funzioni iperboliche, non so cosa ci sia da sapere grazie comunque
grazie comunque
Guarda non c'è veramente niente da sapere (al fine di risolvere questo integrale) se non che $ Ch^2x-Sh^2x=1 $ e al massimo le loro funzioni inverse (che in questo caso non servono). Insomma niente di più di quello che puoi trovare nel post di orazioster!
Ps: la derivata di Shx è Chx, la derivata di Chx è Shx. Insomma come per la trigonometria circolare senza nemmeno dover cambiare i segni, quindi c'è un rischio ancora minore di fare errori!
Ps: la derivata di Shx è Chx, la derivata di Chx è Shx. Insomma come per la trigonometria circolare senza nemmeno dover cambiare i segni, quindi c'è un rischio ancora minore di fare errori!
Perfetto...tra un pò lo risolvo allora
Sono arrivato fino al punto in cui hai detto tu e devo risolvere $ int (1/(ch^(2)t)) $ . L'integrale non dovrebbe essere uguale a $ tht $ ?
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