Risoluzione integrale

[angeloferrari]

Ciao a tutti ragazzi, mi aiutate a risolvere questi due integrali?

$\int_0^R x^3/(x^2+z^2)^{3/2} dx$

$\int_0^R x^2/(x^2+z^2)^{3/2} dx$

grazie in anticipo per l'eventuale aiuto

[ciampax]

Prova a sostituire $x^2+z^2=t^2$

[angeloferrari]

Grazie, adesso provo, ma se per il secondo a occhio mi viene facile, nel primo come cambia $x^{3}$ ?

edit: è x^3 , mi scuso se si vede male ma non so perché esca così

[angeloferrari]

Ho fatto così, qualcuno può dirmi se è corretto? a me sembra un po' troppo contorto come procedimento
$\{(z=tcos\theta),(x=tsin\theta):}$, quindi $x=zsin\theta/cos\theta$, e di conseguenza $dx=z (cos^2\theta+sin^2\theta)/(cos^2\theta) d\theta= z/(cos^2\theta) d\theta$

e quindi si ha $x^2/(x^2+z^2)^{3/2} dx =( t^2 sin^2\theta)/t^3 z/(cos^2\theta) d\theta= (sin^2\theta)/t z/(cos^2\theta)= (sin^2\theta)/t t/cos\theta d\theta =(1-cos^2\theta)/(cos^2\theta) d\theta= 1/(cos^2\theta) d\theta -d\theta$

e questo ora è facilmente integrabile tra degli estremi che devo ancora cercare, può andare bene?

edit: tra estremi $\theta=0$ e $ \theta=arcsin(R/t)=arcsin(R/sqrt(x^2+z^2))$

[ciampax]

L'integrale è fatto rispetto ad una sola variabile (almeno quello che hai scritto) per cui non ha molto senso trasformare anche la $z$. Con la trasformazione che ti ho indicato puoi osservare che
$$x^2=t^2-z^2,\qquad 2x\ dx=2t\ dt$$
e che $x=0\to t=z$ e $x=R\to t=\sqrt{R^2+z^2}$. Pertanto il primo integrale diventa
$$\int_z^{\sqrt{R^2+z^2}}\frac{t^2-z^2}{t^3}\cdot t\ dt=\int_z^{\sqrt{R^2+z^2}}\frac{t^2-z^2}{t^2}\ dt$$
mentre il secondo diventa
$$\int_z^{\sqrt{R^2+z^2}}\frac{t\sqrt{t^2-z^2}}{t^3}\ dt=\int_z^{\sqrt{R^2+z^2}}\frac{\sqrt{t^2-z^2}}{t^2}\ dt$$

[angeloferrari]

Bè, in effetti, è molto più semplice e intelligente come hai fatto tu. Grazie ancora