Risoluzione esercizio teorico Analisi 1
Buongiorno a tutti, avrei dei dubbi su questo esercizio in quanto una richiesta non sono riuscito a svolgerla mentre le altre tre ho provato a risolverle ma non sono sicuro se il procedimento è corretto.
**TESTO:**
Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile infinite volte, tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0. \]
Dimostrare che:
i) la funzione non è né concava né convessa;
ii) esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla;
iii) esistono infiniti punti in cui la derivata si annulla;
iv) per ogni \( n \geq 1 \), esistono infiniti punti in cui la derivata \( n \)-esima si annulla.
**PROCEDIMENTO**
1. Il primo sottopunto non so come svolgerlo.
2. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla, procederei così: dato che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0, \]
allora per valori di \( x \) sufficientemente grandi \( f(x) \) assume un comportamento asintotico simile a quello di \( 2 \sin(x^2) \), che è una funzione periodica che oscilla tra -2 e 2. La funzione \( 2 \sin(x^2) \) si annulla ogni \( \sqrt{\pi} \), quindi per valori di \( x \) sufficientemente grandi basta spostarsi di \( \sqrt{\pi} \) per fare in modo che \( 2 \sin(x^2) \) si annulli e quindi che \( f(x) \) si annulli. Di conseguenza per valori di \( x \) sufficientemente grandi, la funzione \( 2 \sin(x^2) \) e di conseguenza la funzione \( f(x) \) si annullano infinite volte.
3. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la derivata di \( f(x) \) si annulla, procederei così: dato che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0, \]
allora considero la derivata di \( 2 \sin(x^2) \), ovvero \( 4x \cos(x^2) \) e per valori di \( x \) sufficientemente grandi la derivata di \( f(x) \) assume un comportamento asintotico simile a quello di \( 4x \cos(x^2) \), che è una funzione periodica. La funzione \( 4x \cos(x^2) \) si annulla ogni \( \sqrt{\pi} \), quindi per valori di \( x \) sufficientemente grandi basta spostarsi di \( \sqrt{\pi} \) per fare in modo che \( 4x \cos(x^2) \) si annulli e di conseguenza che la derivata di \( f(x) \) si annulli. Di conseguenza per valori di \( x \) sufficientemente grandi, la funzione \( 4x \cos(x^2) \) e di conseguenza la derivata di \( f(x) \) si annullano infinite volte.
4. Per dimostrare il quarto sottopunto partirei da quanto affermato per il terzo punto e procederei per induzione.
Grazie infinite a tutti per l'aiuto.
**TESTO:**
Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile infinite volte, tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0. \]
Dimostrare che:
i) la funzione non è né concava né convessa;
ii) esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla;
iii) esistono infiniti punti in cui la derivata si annulla;
iv) per ogni \( n \geq 1 \), esistono infiniti punti in cui la derivata \( n \)-esima si annulla.
**PROCEDIMENTO**
1. Il primo sottopunto non so come svolgerlo.
2. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla, procederei così: dato che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0, \]
allora per valori di \( x \) sufficientemente grandi \( f(x) \) assume un comportamento asintotico simile a quello di \( 2 \sin(x^2) \), che è una funzione periodica che oscilla tra -2 e 2. La funzione \( 2 \sin(x^2) \) si annulla ogni \( \sqrt{\pi} \), quindi per valori di \( x \) sufficientemente grandi basta spostarsi di \( \sqrt{\pi} \) per fare in modo che \( 2 \sin(x^2) \) si annulli e quindi che \( f(x) \) si annulli. Di conseguenza per valori di \( x \) sufficientemente grandi, la funzione \( 2 \sin(x^2) \) e di conseguenza la funzione \( f(x) \) si annullano infinite volte.
3. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la derivata di \( f(x) \) si annulla, procederei così: dato che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0, \]
allora considero la derivata di \( 2 \sin(x^2) \), ovvero \( 4x \cos(x^2) \) e per valori di \( x \) sufficientemente grandi la derivata di \( f(x) \) assume un comportamento asintotico simile a quello di \( 4x \cos(x^2) \), che è una funzione periodica. La funzione \( 4x \cos(x^2) \) si annulla ogni \( \sqrt{\pi} \), quindi per valori di \( x \) sufficientemente grandi basta spostarsi di \( \sqrt{\pi} \) per fare in modo che \( 4x \cos(x^2) \) si annulli e di conseguenza che la derivata di \( f(x) \) si annulli. Di conseguenza per valori di \( x \) sufficientemente grandi, la funzione \( 4x \cos(x^2) \) e di conseguenza la derivata di \( f(x) \) si annullano infinite volte.
4. Per dimostrare il quarto sottopunto partirei da quanto affermato per il terzo punto e procederei per induzione.
Grazie infinite a tutti per l'aiuto.
Risposte
Per il secondo punto devi essere più preciso, gil zeri devono essere valori precisi, quindi non vanno bene ragionamenti asintotici, usa la definizione di limite e dimostra che cambia segno infinite volte, il resto discende tutto da questo, e per i punti 3 e 4 c'è un modo molto elegante di farlo. Tra parentesi il passaggio che hai fatto dalle funzioni alle derivate al limite è sbagliato.
Buongiorno, grazie infinite per i consigli e i suggerimenti. Di conseguenza, ho proceduto così, provando a trovare un metodo anche per il primo sottopunto.
TESTO:
Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile infinite volte, tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0. \]
Dimostrare che:
i) la funzione non è né concava né convessa;
ii) esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla;
iii) esistono infiniti punti in cui la derivata si annulla;
iv) per ogni \( n \geq 1 \), esistono infiniti punti in cui la derivata \( n \)-esima si annulla.
PROCEDIMENTO:
1. Per dimostrare che \( f(x) \) non è né concava né convessa, considero che la derivata seconda di \( 2 \sin(x^2) \) è \( 4 \cos(x^2) - 8x^2 \sin(x^2) \), la quale cambia segno infinite volte. Dato che la concavità e la convessità di una funzione dipendono dal segno della derivata seconda, e siccome la derivata seconda cambia segno infinite volte, \( f(x) \) non è né concava né convessa.
2. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla, procedo per la definizione di limite.
Sia \(\epsilon > 0\) ed esiste \( M > 0 \) tale che per \( x > M \)
\[ |f(x) - 2 \sin(x^2)| < \epsilon. \]
Considero \(\epsilon = 1\), allora
\[ |f(x) - 2 \sin(x^2)| < 1. \]
Inoltre, \( 2 \sin(x^2) \) oscilla tra -2 e 2. Nei punti \( x = \sqrt{k\pi} \) con \( k > 0 \), \( 2 \sin(x^2) = 0 \). Quindi:
\[ |f(\sqrt{k\pi})| < 1, \]
ciò implica che \( f(x) \) cambia segno infinite volte in quanto si avvicina a zero infinite volte.
3. Siccome \( f(x) \) cambia segno infinite volte, la derivata di \( f(x) \) si annulla per il Teorema di Rolle tra ogni due zeri consecutivi, quindi essendo infiniti gli zeri, \( f'(x) \) si annulla infinite volte.
4. Procedo per induzione. Dato che la derivata prima (quindi per \( n = 1 \)) si annulla infinite volte, assumo che per \( n \) la derivata n-esima si annulli infinite volte. Allora, siccome \( f^{(n)}(x) \) si annulla infinite volte, per il Teorema di Rolle tra ogni due zeri consecutivi di \( f^{(n)}(x) \), \( f^{(n+1)}(x) \) si annulla fra ogni coppia di zeri.
Grazie infinite ancora
TESTO:
Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile infinite volte, tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2 \sin(x^2)) = 0. \]
Dimostrare che:
i) la funzione non è né concava né convessa;
ii) esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla;
iii) esistono infiniti punti in cui la derivata si annulla;
iv) per ogni \( n \geq 1 \), esistono infiniti punti in cui la derivata \( n \)-esima si annulla.
PROCEDIMENTO:
1. Per dimostrare che \( f(x) \) non è né concava né convessa, considero che la derivata seconda di \( 2 \sin(x^2) \) è \( 4 \cos(x^2) - 8x^2 \sin(x^2) \), la quale cambia segno infinite volte. Dato che la concavità e la convessità di una funzione dipendono dal segno della derivata seconda, e siccome la derivata seconda cambia segno infinite volte, \( f(x) \) non è né concava né convessa.
2. Per dimostrare che esistono infiniti punti in cui la funzione si annulla, procedo per la definizione di limite.
Sia \(\epsilon > 0\) ed esiste \( M > 0 \) tale che per \( x > M \)
\[ |f(x) - 2 \sin(x^2)| < \epsilon. \]
Considero \(\epsilon = 1\), allora
\[ |f(x) - 2 \sin(x^2)| < 1. \]
Inoltre, \( 2 \sin(x^2) \) oscilla tra -2 e 2. Nei punti \( x = \sqrt{k\pi} \) con \( k > 0 \), \( 2 \sin(x^2) = 0 \). Quindi:
\[ |f(\sqrt{k\pi})| < 1, \]
ciò implica che \( f(x) \) cambia segno infinite volte in quanto si avvicina a zero infinite volte.
3. Siccome \( f(x) \) cambia segno infinite volte, la derivata di \( f(x) \) si annulla per il Teorema di Rolle tra ogni due zeri consecutivi, quindi essendo infiniti gli zeri, \( f'(x) \) si annulla infinite volte.
4. Procedo per induzione. Dato che la derivata prima (quindi per \( n = 1 \)) si annulla infinite volte, assumo che per \( n \) la derivata n-esima si annulli infinite volte. Allora, siccome \( f^{(n)}(x) \) si annulla infinite volte, per il Teorema di Rolle tra ogni due zeri consecutivi di \( f^{(n)}(x) \), \( f^{(n+1)}(x) \) si annulla fra ogni coppia di zeri.
Grazie infinite ancora
Per il 2), tecnicamente è perchè $2sin(x^2)$ assume i valori $2$ e $-2$ infinite volte e quindi la funzione ne assumerà infiniti positivi e infiniti negativi, da cui, per il teorema dei valori intermedi si annulla infinite volte. Per il punto 1) invece non puoi passare alla derivata e pensare che si mantenga la relazione al limite, ma puoi dimostrare che una funzione che cambia segno almeno 3 volte non può essere nè concava nè convessa.
Grazie mille per l'aiuto! Procedo con la correzione
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