Risoluzione disequazione logaritmica
-2x>log(-4x-7)
E' possibile risolvere questa disequzione senza utilizzare la risoluzione grafica?
GRAZIE
Modificato da - pavonis il 01/02/2004 14:42:07
E' possibile risolvere questa disequzione senza utilizzare la risoluzione grafica?
GRAZIE
Modificato da - pavonis il 01/02/2004 14:42:07
Risposte
Adopero un metodo che ho piu' volte indicato sul Forum.
Considero e studio la funzione:
y=-2x-ln(-4x-7)
1) campo di esistenza: x<-7/4
2)limf(x)=+inf
..x-->-inf
3)limf(x)=+inf
..x-->-7/4(-)
4)f'(x)=(-8x-18)/(4x+7)
Studiando questa derivata si conclude che la funzione presenta
un minimo in x=-9/4 uguale a 9/2-ln(2)>0.
Tale minimo e' un minimo assoluto per cio' che si e'
detto nei punti 2 e 3.Essendo tale limite positivo
si conclude che la funzione e' sempre positiva (ovviamente in
]-inf,-7/4[.Dunque in tale intervallo e' sempre:
-2x-ln(-4x-7)>0 da cui :-2x>ln(-4x-7).
Conclusione :la disequazione e' sempre verificata in ]-inf,-7/4[.
karl.
Considero e studio la funzione:
y=-2x-ln(-4x-7)
1) campo di esistenza: x<-7/4
2)limf(x)=+inf
..x-->-inf
3)limf(x)=+inf
..x-->-7/4(-)
4)f'(x)=(-8x-18)/(4x+7)
Studiando questa derivata si conclude che la funzione presenta
un minimo in x=-9/4 uguale a 9/2-ln(2)>0.
Tale minimo e' un minimo assoluto per cio' che si e'
detto nei punti 2 e 3.Essendo tale limite positivo
si conclude che la funzione e' sempre positiva (ovviamente in
]-inf,-7/4[.Dunque in tale intervallo e' sempre:
-2x-ln(-4x-7)>0 da cui :-2x>ln(-4x-7).
Conclusione :la disequazione e' sempre verificata in ]-inf,-7/4[.
karl.
x Fireball.
-4x-7>0 da cui cambiando segno:
4x+7<0---->x<-7/4.
Del resto basta osservare che, se fosse come dici
tu, si potrebbe scegliere ,ad es.,x=1 ed osservare che non va
perche' risulta ln(-4*1-7)=??
Saluti da karl.
-4x-7>0 da cui cambiando segno:
4x+7<0---->x<-7/4.
Del resto basta osservare che, se fosse come dici
tu, si potrebbe scegliere ,ad es.,x=1 ed osservare che non va
perche' risulta ln(-4*1-7)=??
Saluti da karl.
Grazie per la risposta. Cmq in generale questo metodo può essere applicato soltanto quando la funzione è di segno costante o sbaglio?
citazione:
x Fireball.
-4x-7>0 da cui cambiando segno:
4x+7<0---->x<-7/4.
Del resto basta osservare che, se fosse come dici
tu, si potrebbe scegliere ,ad es.,x=1 ed osservare che non va
perche' risulta ln(-4*1-7)=??
Saluti da karl.
Hai ragione, ho cancellato i miei post.
Per Pavonis.
Di norma e' cosi.In casi diversi
mi pare chiaro che occorre rivolgersi
ad altri metodi tra i quali quello grafico.
Il caso nostro era uno di quelli....fortunati.
karl.
Di norma e' cosi.In casi diversi
mi pare chiaro che occorre rivolgersi
ad altri metodi tra i quali quello grafico.
Il caso nostro era uno di quelli....fortunati.
karl.
ok grazie di nuovo
La disequazione data è equivalente alla disequazione:
e^(-2x)>-4x-7 per x<-7/4.
Posto t=-2x la semplifico nella forma
e^t>2t-7
Poichè e^t ha la concavità verso l'alto sta sempre sopra una sua tangente. Per t=ln2 la retta tangente ha equazione y-2=2(t-ln2), cioè y=2t+2-ln2. E' dunque sempre e^t>=2t+2-ln2>2t-7. Fine.
Cavia
e^(-2x)>-4x-7 per x<-7/4.
Posto t=-2x la semplifico nella forma
e^t>2t-7
Poichè e^t ha la concavità verso l'alto sta sempre sopra una sua tangente. Per t=ln2 la retta tangente ha equazione y-2=2(t-ln2), cioè y=2t+2-ln2. E' dunque sempre e^t>=2t+2-ln2>2t-7. Fine.
Cavia
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