Risoluzione disequazione irrazionale
$sqrtn-sqrt(n+1)<=1$
Io ho provato a risolverla cosi ma verificando il risultato con WolframAlpha (dato che il libro non riporta la soluzione ) l'ho sbagliata ma non capisco dove (secondo Wolfram la soluzione dovrebbe essere n>=0):
$\{(n>=0), (n>=-1),(n+n+1-2sqrt(n(n+1))<=1):}$
quindi risolvo l'ultima disequazione impostando i sistemi
1- $\{(n(n+1)>=0),(2n+1<0):}$
2-$\{(2n+1>0),(4n^2-4n-1>=0):}$
il primo sistema ha soluzioni: $−1≤n<−1/2 uu n≥0$
mentre il secondo $−1/2≤n<(1-sqrt2)/2 uu n≥(1+sqrt2)/2$
e quindi unendo le due soluzione ho $−1/2≤n<(1-sqrt2)/2 uu n≥(1+sqrt2)/2 uu −1≤n<−1/2$
Io ho provato a risolverla cosi ma verificando il risultato con WolframAlpha (dato che il libro non riporta la soluzione ) l'ho sbagliata ma non capisco dove (secondo Wolfram la soluzione dovrebbe essere n>=0):
$\{(n>=0), (n>=-1),(n+n+1-2sqrt(n(n+1))<=1):}$
quindi risolvo l'ultima disequazione impostando i sistemi
1- $\{(n(n+1)>=0),(2n+1<0):}$
2-$\{(2n+1>0),(4n^2-4n-1>=0):}$
il primo sistema ha soluzioni: $−1≤n<−1/2 uu n≥0$
mentre il secondo $−1/2≤n<(1-sqrt2)/2 uu n≥(1+sqrt2)/2$
e quindi unendo le due soluzione ho $−1/2≤n<(1-sqrt2)/2 uu n≥(1+sqrt2)/2 uu −1≤n<−1/2$
Risposte
La terza disequazione del tuo sistema è sbagliata, perchè presuppone - erroneamente - che sia $n>= n+1$ (il che è ovviamente assurdo).
Inoltre, tu commetti un altro errore: risolvi la terza disequazione, e poi non verifichi che le sue soluzioni rispettino le condizioni imposte dalle altre due. Se lo avessi fatto, ti saresti accorto che due degli intervalli determinati non possono contenere soluzioni della tua disequazione iniziale, in quanto richiedono che sia $n < 0$ (quando invece la prima delle tre disequazioni del sistema impone, ovviamente, che sia $n >= 0$).
Evidenziati ora gli errori, andiamo a ragionare su come analizzare correttamente la tua disequazione: essa può essere risolta con un po' di logica: sapendo che $ AA n in R $ si ha $ n < n+1 -> sqrt(n) < sqrt(n+1) $, risulta chiaro che, per ogni valore di $n$ tale da verificare le condizioni di esistenza dei membri della disequazione, il primo membro sarà negativo mentre il secondo sarà positivo. Le condizioni di esistenza sono quelle che già conosci:
$ { ( n>=0 ),( n+1 >=0 ):} $
E da esse, si ricava che il primo membro è definito se $n>=0$. Ne consegue che la tua disequazione ha per soluzioni $ AA n in R $ tali che $ n>=0 $.
Inoltre, tu commetti un altro errore: risolvi la terza disequazione, e poi non verifichi che le sue soluzioni rispettino le condizioni imposte dalle altre due. Se lo avessi fatto, ti saresti accorto che due degli intervalli determinati non possono contenere soluzioni della tua disequazione iniziale, in quanto richiedono che sia $n < 0$ (quando invece la prima delle tre disequazioni del sistema impone, ovviamente, che sia $n >= 0$).
Evidenziati ora gli errori, andiamo a ragionare su come analizzare correttamente la tua disequazione: essa può essere risolta con un po' di logica: sapendo che $ AA n in R $ si ha $ n < n+1 -> sqrt(n) < sqrt(n+1) $, risulta chiaro che, per ogni valore di $n$ tale da verificare le condizioni di esistenza dei membri della disequazione, il primo membro sarà negativo mentre il secondo sarà positivo. Le condizioni di esistenza sono quelle che già conosci:
$ { ( n>=0 ),( n+1 >=0 ):} $
E da esse, si ricava che il primo membro è definito se $n>=0$. Ne consegue che la tua disequazione ha per soluzioni $ AA n in R $ tali che $ n>=0 $.
Ciao 95gazz
Ma è corretto il testo ??
Banalmente è verificata $ AA n>=0 $
Infatti è già verificata se la consideri $<=0$, cioè
$sqrtn-sqrt(n+1)<=0 rArr sqrtn<=sqrt(n+1) $
Fammi sapere.
Bye
"95gazz":
$sqrtn-sqrt(n+1)<=1$
Ma è corretto il testo ??
Banalmente è verificata $ AA n>=0 $
Infatti è già verificata se la consideri $<=0$, cioè
$sqrtn-sqrt(n+1)<=0 rArr sqrtn<=sqrt(n+1) $
Fammi sapere.
Bye
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