Risoluzione di un'equazione in campo complesso
Buon pomeriggio,
devo risolvere la seguente equazione in campo complesso:
$z^3 = -8$ trovando quindi, per il teorema fondamentale dell'algebra, le tre radici/soluzioni.
Non capisco qual è il primo passo da compiere.
Cioè: come trasformo un'equazione del genere nel formato algebrico x+iy o anche nella forma trigonometrica?
devo risolvere la seguente equazione in campo complesso:
$z^3 = -8$ trovando quindi, per il teorema fondamentale dell'algebra, le tre radici/soluzioni.
Non capisco qual è il primo passo da compiere.
Cioè: come trasformo un'equazione del genere nel formato algebrico x+iy o anche nella forma trigonometrica?
Risposte
Ciao,
$z=root(3) (-8)^(CC)=$ ... 
Ti dovrei presentare Grazia, Graziella e... 
Ti ringrazio Magma ma non risponde alla mia domanda: così scritto il numero non è né in forma trigonometrica né algebrica (il che è necessario per trovare le tre radici).
Devo forse considerare
x=-8
y=0?
Ovvero il numero complesso iniziale è $w = 8(cos(pi + arctg(0)) + isen(pi + arctg(0)) = 8 (cos(pi) + isen(pi))?$
Se la risposta è sì, allora so come procedere per ricavarne le radici cubiche,
se la risposta è no, ti prego di essere più esplicito
Danke!
Ti ringrazio Magma ma non risponde alla mia domanda: così scritto il numero non è né in forma trigonometrica né algebrica (il che è necessario per trovare le tre radici).
Devo forse considerare
x=-8
y=0?
Ovvero il numero complesso iniziale è $w = 8(cos(pi + arctg(0)) + isen(pi + arctg(0)) = 8 (cos(pi) + isen(pi))?$
Se la risposta è sì, allora so come procedere per ricavarne le radici cubiche,
se la risposta è no, ti prego di essere più esplicito
Danke!
Ciao
proviamo con la forma esponenziale?
proviamo con la forma esponenziale?
"Bonny94":
Devo forse considerare
di studiare di più!
$root(n)(z)^(CC)=root(n)(abs(z))*{cos((Arg(z)+2kpi)/n)+i sin ((Arg(z)+2kpi)/n)} qquad ; k=0,...,(n-1)$
dove $Arg(z)$[nota]$z=a+ib$[/nota] è dato da:
$if a ne0; qquad Arg(z)=arctan(b/a)+kpi; qquad k={ ( -1; if\text{III quadrante} ),( 0; if\text{I, IV quadrante} ),( 1; if\text{II quadrante} ):}$; $if a=0; qquad Arg(z)={ ( +pi/2; if b>0 ),( -pi/2;if b<0 ):}$
Continuo a suggerire la forma esponenziale...
$z=-8=8(-1)=8e^(pii)$
$root3(8e^(pii))=2root3(e^(pii))$
$w_0=2e^(i((pi+0*2pi)/3))=2e^(ipi/3)=1+sqrt3i$
$w_1=2e^(i((pi+2pi)/3))=2e^(i(3/3pi))=2e^(pii)=-2$
$w_2=2e^(i((pi+2*2pi)/3))=2e^(i5/3pi)=1-sqrt3i$
$z=-8=8(-1)=8e^(pii)$
$root3(8e^(pii))=2root3(e^(pii))$
$w_0=2e^(i((pi+0*2pi)/3))=2e^(ipi/3)=1+sqrt3i$
$w_1=2e^(i((pi+2pi)/3))=2e^(i(3/3pi))=2e^(pii)=-2$
$w_2=2e^(i((pi+2*2pi)/3))=2e^(i5/3pi)=1-sqrt3i$
Ciao Bonny74,
Soluzione alternativa a quella corretta già suggerita da gio73:
$z^3 = - 8 \implies z^3 + 8 = 0 \implies z^3 + 2^3 = 0 \implies (z + 2)(z^2 - 2z + 4) = 0 $
Quindi la soluzione $z_1 = - 2 $ si trova immediatamente; per trovare le altre due basta risolvere l'equazione di secondo grado $z^2 - 2z + 4 = 0 $
Soluzione alternativa a quella corretta già suggerita da gio73:
$z^3 = - 8 \implies z^3 + 8 = 0 \implies z^3 + 2^3 = 0 \implies (z + 2)(z^2 - 2z + 4) = 0 $
Quindi la soluzione $z_1 = - 2 $ si trova immediatamente; per trovare le altre due basta risolvere l'equazione di secondo grado $z^2 - 2z + 4 = 0 $
ottimo pilloeffe
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