Risoluzione di un integrale

[Mr.Mazzarr]

Probabilmente mi perdo in un bicchier d'acqua, ma mi manca l'ultimo passaggio di un integrale da calcolare con la formula della sostituzione:

$int 1/(x^2*sqrt(x^2+1)) * dx$

Sostituisco:

$sqrt(x^2+1) = t$

$x = sqrt(t^2-1)$

$dx = t/(sqrt(t^2-1))$

Quindi:

$int 1/(t^2-1) * 1/(sqrt(t^2-1)) * dt$

E non so più come andare avanti. Ho provato un'altra sostituzione ma non porta a nulla di buono. Come potrei proseguire?

[Noisemaker]

Quando la funzione integranda è del tipo
$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx,
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:

[*:pgwexdqc] se $p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
x=t^k,\qquad \text{dove $k$ è il m.c.m. dei denominatori di $m$ ed $n;$}
\end{align}[/*:m:pgwexdqc]
[*:pgwexdqc] se $\frac{m+1}{n}$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
ax^n+b=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}[/*:m:pgwexdqc]
[*:pgwexdqc] se $\frac{m+1}{n}+p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
\frac{ax^n+b}{x^n}=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p.$}
\end{align}[/*:m:pgwexdqc][/list:u:pgwexdqc]
Nel tuo caso, hai che:
\begin{align}
x^{-2}(x^2+1)^{-1/2},\qquad\mbox{in cui}\quad m=-2,\quad n=2,\quad p=-1/2,
\end{align}
ed essendo $\frac{m+1}{n}+p=\frac{-2+1}{2}-1/2=-1\in\ZZ,$ possiamo utilizzare la terza sostituzione:
\begin{align}
\frac{x^2+1}{x^2}=t^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{1}{t^2-1}\quad\Rightarrow\quad dx=-\frac{t\,\, dt}{\sqrt{(t^2-1)^3}};
\end{align}
l'integrale diventa:
\begin{align}
\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}&= -\int\frac{1}{\frac{1}{t^2-1}\sqrt{\frac{1}{t^2-1}+1}}\cdot \frac{t\,\, dt}{\sqrt{(t^2-1)^3}}=-\int\frac{1}{\frac{1}{t^2-1}\sqrt{\frac{t^2}{t^2-1} }}\cdot \frac{ t\,\, dt}{\sqrt{(1-t^2)^3}}\\
&=-\int\frac{\sqrt{(t^2-1)^3}}{t}\cdot \frac{ t\,\, dt}{\sqrt{(t^2-1)^3}}=-\int dt =- t\\
&=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C.
\end{align}

[Peter Pan1]

Ciao mr.mazzar
ho trovato una sostituzione utile per risolvere il tuo integrale:
se poni $ t=coshy $ hai che $ int_()^() 1/((t^2-1)(t^2-1)^(1/2)) dt= int_()^() 1/((cos^2hy-1)(cos^2hy-1)^(1/2)) senhy*dy= int_()^() 1/(sen^2hy*senhy) senhy*dy=int_()^() 1/(sen^2hy)dy=-cothy+c $
Spero di non aver fatto errori nelle sostituzioni. Se poi vuoi anche le relazioni per le funzioni iperboliche te le scrivo.
Ciao