Risoluzione di serie.
Ciao amici matematici. 
Oggi assieme ad un collega, ho studiato queste due serie, di cui vi scrivo di seguito.
Prima serie:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))^\alpha$
Applicando il criterio del confronto, con la $f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/(n)^(\alpha)$ , cioè la serie armonica generalizzata, abbiamo visto che:
$\lim_{n \to \infty}(\arcsin(1/n))^\(alpha)/(1/(n))^(\alpha) = 1$. Quindi, la serie in questione e la serie armonica generalizzata hanno lo stesso carattere.
Il carattere della serie dipende da $\alpha$.
Se $\alpha > 1$, la serie converge.
Se $\alpha <= 1$ la serie diverge. Il procedimento che abbiamo seguito e il risultato ottenuto, secondo Voi, sono corretti?
Seconda serie:
Questa serie, bensì sia simile alla prima, non siamo riusciti a risolverla, con i criteri e i teoremi da noi conosciuti. Forse è necessaria l'uso degli "o piccolo", ma non ne sono assolutamente sicuro.
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))*(x)^n$
Abbiamo pensato di risolverla col criterio della radice, così da studiare solamente il termine con $(\arcsin(1/n))^(1/n)$ da moltiplicare poi con il fattore costante $x in RR$, ma senza arrivare ad un risultato significativo.
Inoltre, $(\arcsin(1/n))$ può essere ricondotto a $1/n$, in modo da avere la serie in questo modo: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty(x)^(n)/(n)$ ?
Qualche idea su come risolvere questa serie? Grazie a tutti, ciao.
Oggi assieme ad un collega, ho studiato queste due serie, di cui vi scrivo di seguito.Prima serie:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))^\alpha$
Applicando il criterio del confronto, con la $f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/(n)^(\alpha)$ , cioè la serie armonica generalizzata, abbiamo visto che:
$\lim_{n \to \infty}(\arcsin(1/n))^\(alpha)/(1/(n))^(\alpha) = 1$. Quindi, la serie in questione e la serie armonica generalizzata hanno lo stesso carattere.
Il carattere della serie dipende da $\alpha$.
Se $\alpha > 1$, la serie converge.
Se $\alpha <= 1$ la serie diverge. Il procedimento che abbiamo seguito e il risultato ottenuto, secondo Voi, sono corretti?
Seconda serie:
Questa serie, bensì sia simile alla prima, non siamo riusciti a risolverla, con i criteri e i teoremi da noi conosciuti. Forse è necessaria l'uso degli "o piccolo", ma non ne sono assolutamente sicuro.
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))*(x)^n$
Abbiamo pensato di risolverla col criterio della radice, così da studiare solamente il termine con $(\arcsin(1/n))^(1/n)$ da moltiplicare poi con il fattore costante $x in RR$, ma senza arrivare ad un risultato significativo.
Inoltre, $(\arcsin(1/n))$ può essere ricondotto a $1/n$, in modo da avere la serie in questo modo: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty(x)^(n)/(n)$ ?
Qualche idea su come risolvere questa serie? Grazie a tutti, ciao.
Risposte
In effetti c'è un'imprecisione... Ciò che c'è scritto nel secondo membro non è una funzione.
Si infatti, è un mio errore. Non dovevo porre $f(x)$ uguale ad una serie. E' solo perchè ancora non so usare perfettamente il codice per scrivere le formule.
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