Risoluzione di serie.

[Albertus16]

Ciao amici matematici. Oggi assieme ad un collega, ho studiato queste due serie, di cui vi scrivo di seguito.

Prima serie:

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))^\alpha$

Applicando il criterio del confronto, con la $f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/(n)^(\alpha)$ , cioè la serie armonica generalizzata, abbiamo visto che:

$\lim_{n \to \infty}(\arcsin(1/n))^\(alpha)/(1/(n))^(\alpha) = 1$. Quindi, la serie in questione e la serie armonica generalizzata hanno lo stesso carattere.

Il carattere della serie dipende da $\alpha$.

Se $\alpha > 1$, la serie converge.

Se $\alpha <= 1$ la serie diverge. Il procedimento che abbiamo seguito e il risultato ottenuto, secondo Voi, sono corretti?


Seconda serie:

Questa serie, bensì sia simile alla prima, non siamo riusciti a risolverla, con i criteri e i teoremi da noi conosciuti. Forse è necessaria l'uso degli "o piccolo", ma non ne sono assolutamente sicuro.

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(\arcsin(1/n))*(x)^n$

Abbiamo pensato di risolverla col criterio della radice, così da studiare solamente il termine con $(\arcsin(1/n))^(1/n)$ da moltiplicare poi con il fattore costante $x in RR$, ma senza arrivare ad un risultato significativo.

Inoltre, $(\arcsin(1/n))$ può essere ricondotto a $1/n$, in modo da avere la serie in questo modo: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty(x)^(n)/(n)$ ?

Qualche idea su come risolvere questa serie? Grazie a tutti, ciao.

[dissonance]

La prima mi pare vada bene. La seconda è una serie di potenze centrata nello zero: c'è da determinare un intervallo, centrato nello zero, tale che per ogni x in questo intervallo la serie converge. Per questo ci sono delle tecniche standard: in questo momento non ho molto tempo per parlarne purtroppo, puoi provare a vedere su wikipedia.

[Albertus16]

Grazie dissonance. Vedrò se nella pagina da te segnalata vi sia qualche tecnica per la risoluzione di questa serie.

[dissonance]

Risposta: no, non c'è sono andato adesso a vedere per bene la pagina di wikipedia e non c'è quello a cui stavo pensando. Se non hai mai studiato le serie di potenze ti sconsiglio assolutamente di farlo su wikipedia! Tutte le volte che ho provato ad affrontare un argomento nuovo direttamente da wikipedia mi sono sempre trovato con una grossa confusione mentale.

Sei sicuro che col criterio della radice non si riesca a concludere niente?

[Albertus16]

Perfetto. Me ne sono accorto anche io. Grazie del consiglio.

Se applico il criterio della radice alla seconda serie, avrò $ x * \lim_{n \to \infty}\root(n)(\arcsin(1/n)$

Non so con sicurezza se anche $\arcsin(1/n)$ si pùò confrontare con $1/n$, come ho fatto per la prima serie. In questo caso, il risultato del limite viene 0 e moltiplicato per la costante $x$, cioè $ 0 * x= 0$, quindi la serie, per il criterio della radice, dovrebbe convergere.

Dissonance, credi sia corretto il mio ragionamento? Grazie, ciao.

[dissonance]

Si guarda per queste faccende di confronto asintotico io penso che la cosa migliore, per non sbagliare, sia usare gli sviluppi di Taylor. Intorno allo zero se non mi sbaglio $arcsin\ t=t+o(t)$, quindi $arcsin\ 1/n=1/n+o(1/n)$. Perciò $lim_{n}root(n)(arcsin\ 1/n)=lim_{n}root(n)(1/n*(1/n+o(1/n))/(1/n))=lim_{n}root(n)(1/n)=0$. Quindi, se non sbaglio io, il tuo ragionamento è corretto: qualunque $x$ tu scelga la serie convergerà.

[dissonance]

No aspetta... $lim_{n}root(n)(1/n)=1$, non zero. No? Infatti $root(n)(1/n)="exp" (1/nlog\ 1/n)$. Per $n\toinfty$ $1/nlog\ 1/n\to 0$ e quindi $"exp" (1/nlog\ 1/n)\to1$. O mi sto sbagliando?

[dissonance]

Ho controllato, mi pare giusto...$root(n)(1/n)\to1$. Come ulteriore conferma, guardiamo il grafico della funzione $x\mapsto x^(x)$ in un intorno destro dello zero (la successione che ci interessa si comporta come questa funzione per $x\to0^+$):
[asvg]xmin=-0.01;
xmax=1;
ymin=0;
ymax=2;
axes("label");
stroke="black";
plot("x^(x)");[/asvg]
Quindi la convergenza non è per tutti i valori di $x$, ma solo per $x$ in un intervallo centrato nello zero.

[Albertus16]

Dissonance, in questo modo, il limite, una volta applicato il criterio della radice, tende a x. Quindi il carattere della serie dipende da $x$.

Infatti, dato che il limite tende a 1 indipendentemente dal valore di $x$, attraverso il criterio della radice, possiamo stabilire la convergenza o la divergenza in base a $x$. Ma per $x=1$ il criterio della radice non funziona e non possiamo sapere attraverso esso il carattere della serie.

Sappiamo che, per $x!=1$ la serie converge o diverge. Allora rimane da capire cosa succede alla serie quando $x=1$.

Hai qualche idea sul da farsi? Grazie, ciao.

[Dorian1]

"Albertus16":
Sappiamo che, per $x!=1$ la serie converge o diverge. Allora rimane da capire cosa succede alla serie quando $x=1$.

Piccola intromissione... Se $x=1$ il termine generale è asintotico a $1/n$, dunque la serie data diverge...

Comunque c'è qualcosa, a mio avviso, che non va... Nel calcolo del limite si deve prendere il termine generale in valore assoluto...

[Albertus16]

Dissonance, posto un'altra serie su cui io e i mio collega abbiamo forti dubbi.

La serie è: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/n - sen(1/n)$

Abbiamo provato con vari criteri. Prima di tutto abbiamo tentato a scomporla in due serie, in modo da calcolarci il carattere di ognuna e poi trovarci il carattere della serie generale facendo la sottrazione tra le due serie, ma senza risultati; perchè la prima, essendo serie armonica, diverge e ci siamo, la seconda, invece, essendo confrontabile con la serie armonica, diverge nuovamente. Abbiamo così una forma indeterminata $infty - infty$. Poi abbiamo cercato di confrontare l'intera serie con $1/n$ ma non siamo riusciti a trovarci il carattere, poichè $1/n$ al denominatore cresce più rapidamente del numeratore.

Infine abbiamo provato a porre $(1/n) = x$ e quindi dividere il tutto per $senx$, in modo da avere $x/(senx) - 1$. Essendo $(senx)/x$ un limite notevole con risultato 1, abbiamo $1 -1 = 0$. Quindi la serie potrebbe convergere, perchè rispetta la condizione necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza delle serie.

Dissonance, secondo te, i nostri procedimenti sono esatti, o dobbiamo rivedere qualcosa?

[dissonance]

Aspetta aspetta. Guarda che Dorian ha ragione. Quando abbiamo analizzato la serie $sum_{n=1}^inftyarcsin\ 1/n\ x^n$, abbiamo implicitamente fatto un discorso di convergenza assoluta. Se vai a vedere la teoria infatti, tutti i criteri che abbiamo usato (della radice, del confronto asintotico eccetera) sono criteri per serie a termini positivi. Io questo intendevo quando parlavo di intervallo centrato nello zero: volevo dire "la serie converge per $x\in(-a, a)$" ovvero per $|x| Quindi, al termine del nostro ragionamento, possiamo dire che la nostra serie converge assolutamente per $|x|<1$ (perché verifica il criterio della radice), non converge per $|x|>1$ e resta da capire che fa per $x=-1, x=1$.

[dissonance]

Ed infatti ecco la sorpresa. Per $x=1$ la serie non converge, come faceva notare Dorian. Invece per $x=-1$ sì. Difatti $sum(-1)^narcsin(1/n)$ verifica il criterio di convergenza di Leibniz (quello secondo cui una serie di tipo $sum(-1)^n("una successione decrescente e infinitesima")$ converge). Basta dimostrare che la successione $arcsin\ 1/n$ è decrescente, che è facile: se $n

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[dissonance]

"Albertus16":
Dissonance, secondo te, i nostri procedimenti sono esatti, o dobbiamo rivedere qualcosa?

E se risponde qualcun'altro che fate, vi offendete?
Vabbé, comunque: per la serie che vi interessa non avete fatto errori, ma ancora non avete in mano nulla che possa dire se la serie converge o no. (nota pedante e antipatica: ma perché non controllate prima se il termine generale tende a zero e poi applicate i criteri di convergenza? )
Per il passo finale dò un suggerimento: provate a procedere come per la serie precedente.

[Dorian1]

"Albertus16":$f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/n - sen(1/n)$

Rispondo io, se permetti!
Direi che, dal momento che l'argomento di $sen$ è infinitesimo, conviene usare il fatto che $sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$... Il termine generale è asintotico al termine $1/(6n^3)$... Convergente, quindi...

[Albertus16]

Ah ecco. Grazie a tutti e due per le risposte. Dorian, non avevamo visto il tuo post, non avevamo ricaricato la pagina. Ora abbiamo capito più o meno il comportamento di questa serie. Inoltre, dopo un'ora passata a tentare, siamo riusciti a risolverla e a dimostrare la divergenza con il criterio di Raabe.

Grazie.

[dissonance]

"Albertus16":... la divergenza con il criterio di Raabe.

Ma ti riferisci alla seconda serie che hai postato? Mi pare strano...Se segui il ragionamento fatto da Dorian vedi che la serie converge assolutamente. Inoltre usi anche criteri più comuni di quello di Raabe, che almeno per me è difficoltoso da ricordare (infatti non me lo ricordo! ).

[Dorian1]

@Albertus16: visto che ti piacciono tanto le serie, ne posto qualcuna di 'non proprio immediata' risoluzione!

(1) $sum_(n)^(+oo) root(n)n-1$

(2) $sum_(n)^(+oo) (pi/2-arctan(n))^alpha$

(3) $sum_(n)^(+oo) (n+log n)/(e^(n^alpha)$

In (2), (3), studiare il comportamento al variare di $alpha$ nei reali.

Buon divertimento!

[Albertus16]

No, mi riferisco all'ultima che abbiamo postato. Il criterio di Raabe è un pò difficile da ricordare, abbiamo consultato il libro. Meno male che il prof ci fa usare il libro durante l'esame!

Questa: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty1/n - sen(1/n)$

Per le altre il ragionamento che avete fatto è giusto, ed abbiamo capito perfettamente e Vi ringraziamo.

Grazie Dorian. Sono sicuro che queste serie ci piaceranno molto.

[Dorian1]

"Albertus16":
Grazie Dorian. Sono sicuro che queste serie ci piaceranno molto.

Prego. Quando volete, le possiamo commentare sul forum!

[Marco512]

Ciao,

non capisco perchè la prima serie è una f(x) visto che la x non compare a secondo membro...