[RISOLTO] Successione di funzioni

[giuscri]

Si discuta la convergenza uniforme di
\[\operatorname{Sh} \left[ \left( 1 - \frac{x}{n^2} \right) \left( \frac{x}{n^3} - \frac{1}{n^{5/2}}\right) \right] \cdot \chi_{[\sqrt{n}, n^2]} (x) \]
dove \(\chi\) e' la funzione caratteristica di \([\sqrt{n}, n^2]\).

Tentativo: grazie alla funzione caratteristica, accade che
\[f_n \equiv 0\]
almeno definitivamente. Dunque, \(f_n \to 0\) puntualmente su tutto l'intervallo in cui ha senso quella funzione -probabilmente tutto \(\mathbb{R}\).
Noto poi che, almeno per valori positivi, \(\operatorname{Sh}\) e' monotono crescente. Allora
\[\sup_{x \in \ldots{}} \left| \operatorname{Sh} \right|\]
lo si ha in corrispondenza di
\[\sup_{x \in [\sqrt{n}, n^2]} \left| \left( 1 - \frac{x}{n^2} \right) \left( \frac{x}{n^3} - \frac{1}{n^{5/2}}\right) \right| \]
ma \(\left( 1 - \frac{x}{n^2} \right) \left( \frac{x}{n^3} - \frac{1}{n^{5/2}}\right)\) e' una parabola rivolta verso il basso.

Dato che -bastano un paio di calcoletti- ha vertice in \([\sqrt{n}, n^2]\) si ha che
\[\sup_{x \in [\sqrt{n}, n^2]} \left| \left( 1 - \frac{x}{n^2} \right) \left( \frac{x}{n^3} - \frac{1}{n^{5/2}}\right) \right| \equiv \left| f_n(x_v) \right| \to 0\]

\(\{f_n\}\) converge percio' su tutto il dominio della funzione \(\operatorname{Sh}\) -ad occhio, \(\mathbb{R}\) ...

...corretto? Sono stato troppo sbrigativo?

[Zilpha]

Secondo me è corretto.