[risolto] integrali impropri, di nuovo!
Continuo ad avere problemi 
$int_-1^(+infty) x/sqrt(x+1)$
Io lo "semplifico" così:
$int_-1^(+infty) x*(x+1)^(-1/2)$
Procedo col limite:
$lim_(h -> +infty) x*(x+1)^(-1/2)|_-1^h$
eseguo la primitiva e mi ritrovo in questa situazione:
$lim_(h -> +infty) (x^2)/2+2*sqrt(x+1)$
Giusto?
Bon...ora sostituisco $+infty$ e $-1$ e ottengo:
$+infty+infty - [1/2+2*sqrt0]$
Giusto?
Quindi in totale il risultato sarà: $+infty$ ....e invece no
-------------------------------------------------
Al mio prof risulta $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)$
Perché??!?! Dove sbaglio -.-''
$int_-1^(+infty) x/sqrt(x+1)$
Io lo "semplifico" così:
$int_-1^(+infty) x*(x+1)^(-1/2)$
Procedo col limite:
$lim_(h -> +infty) x*(x+1)^(-1/2)|_-1^h$
eseguo la primitiva e mi ritrovo in questa situazione:
$lim_(h -> +infty) (x^2)/2+2*sqrt(x+1)$
Giusto?
Bon...ora sostituisco $+infty$ e $-1$ e ottengo:
$+infty+infty - [1/2+2*sqrt0]$
Giusto?
Quindi in totale il risultato sarà: $+infty$ ....e invece no
-------------------------------------------------
Al mio prof risulta $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)$
Perché??!?! Dove sbaglio -.-''
Risposte
Mmm sbaglio nel fare la primitiva!
Come l'hai calcolata quella primitiva?
Em la primitiva ho fatto un errore stupido lascia stare 
Lo sto rifacendo usando l'integrazione per parti. Allora il mio integrale è:
$int x*(x+1)^(-1/2)$
l'integrazione per parti ha la seguente formula:
$int U*dV = U*V - int V*dU$
dove
$U=x$
$dU=1$
$dV=(x+1)^(-1/2)$
$V=2sqrt(x+1)$
quindi a me viene:
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)$
Uff non capisco dove cavolo sbaglio
Lo sto rifacendo usando l'integrazione per parti. Allora il mio integrale è:
$int x*(x+1)^(-1/2)$
l'integrazione per parti ha la seguente formula:
$int U*dV = U*V - int V*dU$
dove
$U=x$
$dU=1$
$dV=(x+1)^(-1/2)$
$V=2sqrt(x+1)$
quindi a me viene:
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)$
Uff non capisco dove cavolo sbaglio
Per parti trovi:
$int x*(x+1)^(-1/2) dx = x * 2 sqrt( x + 1 ) - 2 int sqrt( x + 1 ) dx = x * 2 sqrt( x + 1 ) - 4/3 * (x + 1)^(3/2) $
Quindi è corretto.
$int x*(x+1)^(-1/2) dx = x * 2 sqrt( x + 1 ) - 2 int sqrt( x + 1 ) dx = x * 2 sqrt( x + 1 ) - 4/3 * (x + 1)^(3/2) $
Quindi è corretto.
Infatti non sbagli. Anche se può sembrare che non sia così,
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)+c$ e $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)+c$
Sono la stessa cosa. Quindi hai fatto correttamente
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)+c$ e $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)+c$
Sono la stessa cosa. Quindi hai fatto correttamente
In realtà non serve nemmeno fare i conti per capire che l'integrale in questione vale [tex]$+\infty$[/tex].
Infatti, l'integrando è continuo in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex]; l'integrando in [tex]$-1$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex], quindi l'integrale improprio esteso ad un qualsiasi intervallo del tipo [tex]$[-1,c]$[/tex] è finito; d'altra parte, l'integrando ha limite [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex], quindi l'integrale improprio esteso ad un qualsiasi intervallo [tex]$[c,+\infty[$[/tex] non può essere finito ed, anzi, vale [tex]$+\infty$[/tex].
Conseguentemente l'integrale assegnato vale [tex]$+\infty$[/tex].
Infatti, l'integrando è continuo in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex]; l'integrando in [tex]$-1$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex], quindi l'integrale improprio esteso ad un qualsiasi intervallo del tipo [tex]$[-1,c]$[/tex] è finito; d'altra parte, l'integrando ha limite [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex], quindi l'integrale improprio esteso ad un qualsiasi intervallo [tex]$[c,+\infty[$[/tex] non può essere finito ed, anzi, vale [tex]$+\infty$[/tex].
Conseguentemente l'integrale assegnato vale [tex]$+\infty$[/tex].
"Gi8":
Infatti non sbagli. Anche se può sembrare che non sia così,
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)+c$ e $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)+c$
Sono la stessa cosa. Quindi hai fatto correttamente
O.o perchè?? Non sono molto ferrato con la matematica
Basta tenere presente che $sqrt((x+1)^3)=sqrt(x+1)*(x+1)$ e fare dei racoglimenti opportuni
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)=2sqrt(x+1)*[x-2/3(x+1)]=2sqrt(x+1)*[(x-2)/3]=2/3sqrt(x+1)*(x-2)$
$2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)=2sqrt(x+1)*[1/3(x+1)-1]=2sqrt(x+1)*(1/3x-2/3)=2/3sqrt(x+1)*(x-2)$
In ogni caso quoto ciò che ha detto gugo: è inutile perdersi in questa marea di conti non proprio immediati
quando si può notare senza troppa difficoltà che l'integrale diverge a $+oo$
$2xsqrt(x+1)-4/3sqrt((x+1)^3)=2sqrt(x+1)*[x-2/3(x+1)]=2sqrt(x+1)*[(x-2)/3]=2/3sqrt(x+1)*(x-2)$
$2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)=2sqrt(x+1)*[1/3(x+1)-1]=2sqrt(x+1)*(1/3x-2/3)=2/3sqrt(x+1)*(x-2)$
In ogni caso quoto ciò che ha detto gugo: è inutile perdersi in questa marea di conti non proprio immediati
quando si può notare senza troppa difficoltà che l'integrale diverge a $+oo$
Ho letto quello che mi ha scritto gugo ma non ne ho capito un granchè 
In ogni caso grazie a tutti per le risposte
In ogni caso grazie a tutti per le risposte
Il mio integrale iniziale:
$int_2^3 (2x)/(x^2-9)^2$
ho provato con gli integrali fratti e con l'integrazione per parti ma mi vengono delle cose assurde O.o
$int_2^3 (2x)/(x^2-9)^2$
ho provato con gli integrali fratti e con l'integrazione per parti ma mi vengono delle cose assurde O.o
Che decomposizione in fratti hai usato?
$(2x)/((x+3)(x-3))^2 = 2x/(x + 3)^2 * 1/(x - 3)^2$
Si vede subito che per $x -> 3$ la funzione integranda è un infinitesimo di ordine $2$, quindi l'integrale non esiste.
Si vede subito che per $x -> 3$ la funzione integranda è un infinitesimo di ordine $2$, quindi l'integrale non esiste.
"Seneca":Non converge, piuttosto
...l'integrale non esiste.
@ciamapx: la sto rifacendo, ho questo:
$(2x)/((x-3)^2(x+3)^2)$
@seneca: si ho visto che per $x->3$ la funzione crea discontinuità...però non capisco che vuol dire "un infinitesimo di ordine 2"...
@gi8: ma quindi se trovo la discontinuità automaticamente non converge? PS per la discontinuità devo sostiuire i valore a cui tende l'integrale e vedere se viene 0 a denominatore o se viene infinito?
$(2x)/((x-3)^2(x+3)^2)$
@seneca: si ho visto che per $x->3$ la funzione crea discontinuità...però non capisco che vuol dire "un infinitesimo di ordine 2"...
@gi8: ma quindi se trovo la discontinuità automaticamente non converge? PS per la discontinuità devo sostiuire i valore a cui tende l'integrale e vedere se viene 0 a denominatore o se viene infinito?
"Gi8":Non converge, piuttosto[/quote]
[quote="Seneca"]...l'integrale non esiste.
Spiegami un po'... Perché non andrebbe bene la mia espressione (che è usata altresì su diversi testi) ?
"pol20":
@ciamapx: la sto rifacendo, ho questo:
$(2x)/((x-3)^2(x+3)^2)$
@seneca: si ho visto che per $x->3$ la funzione crea discontinuità...però non capisco che vuol dire "un infinitesimo di ordine 2"...
Devi sapere che la convergenza (esistenza) dell'integrale improprio è strettamente legata alla "rapidità" con cui la funzione diverge.
(comunque ho sbagliato - si tratta di un infinito di ordine 2 )
"Seneca":So che citare da wikipedia non dà garanzie di rigorosità, ma qui ho trovato
Spiegami un po'... Perché non andrebbe bene la mia espressione (che è usata altresì su diversi testi) ?
Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione $f$ è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale $+oo$ o $-oo$ si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.
"Seneca":
Devi sapere che la convergenza (esistenza) dell'integrale improprio è strettamente legata alla "rapidità" con cui la funzione diverge.
(comunque ho sbagliato - si tratta di un infinito di ordine 2 )
Mmm sto cercando informazioni in merito perchè sulle dispense del mio prof non ci sono -.-''
EDIT: ok è un infinito perchè il risultato con $x->3$ è $infty$
@Gi8: Definizioni che cambiano liberamente da testo a testo. Essere ostinati su questo genere di linguaggio mi sembra inutile.
A titolo di cronaca credo sia più corretto dire che non esiste , poiché quella funzione non è integrabile in senso improprio in $[c,3)$, $AA c in RR^+$.
Che poi si voglia dire "divergente" è un di più che si potrebbe omettere.
A titolo di cronaca credo sia più corretto dire che non esiste , poiché quella funzione non è integrabile in senso improprio in $[c,3)$, $AA c in RR^+$.
Che poi si voglia dire "divergente" è un di più che si potrebbe omettere.
"pol20":
Mmm sto cercando informazioni in merito perchè sulle dispense del mio prof non ci sono -.-''
Che corso di analisi stai seguendo? E' strano che l'unico modo che tu abbia a disposizione per decidere se un integrale improprio esista o meno sia il teorema fondamentale del calcolo.
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