[risolto] integrali impropri, di nuovo!
Continuo ad avere problemi 
$int_-1^(+infty) x/sqrt(x+1)$
Io lo "semplifico" così:
$int_-1^(+infty) x*(x+1)^(-1/2)$
Procedo col limite:
$lim_(h -> +infty) x*(x+1)^(-1/2)|_-1^h$
eseguo la primitiva e mi ritrovo in questa situazione:
$lim_(h -> +infty) (x^2)/2+2*sqrt(x+1)$
Giusto?
Bon...ora sostituisco $+infty$ e $-1$ e ottengo:
$+infty+infty - [1/2+2*sqrt0]$
Giusto?
Quindi in totale il risultato sarà: $+infty$ ....e invece no
-------------------------------------------------
Al mio prof risulta $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)$
Perché??!?! Dove sbaglio -.-''
$int_-1^(+infty) x/sqrt(x+1)$
Io lo "semplifico" così:
$int_-1^(+infty) x*(x+1)^(-1/2)$
Procedo col limite:
$lim_(h -> +infty) x*(x+1)^(-1/2)|_-1^h$
eseguo la primitiva e mi ritrovo in questa situazione:
$lim_(h -> +infty) (x^2)/2+2*sqrt(x+1)$
Giusto?
Bon...ora sostituisco $+infty$ e $-1$ e ottengo:
$+infty+infty - [1/2+2*sqrt0]$
Giusto?
Quindi in totale il risultato sarà: $+infty$ ....e invece no
-------------------------------------------------
Al mio prof risulta $2/3*sqrt((x+1)^3)-2sqrt(x+1)$
Perché??!?! Dove sbaglio -.-''
Risposte
Una cosa...non ho capito perchè dato che f(x) è infinito in 3 allora diverge O.o
È una particolare proprietà degli integrali/infiniti/altro ??
È una particolare proprietà degli integrali/infiniti/altro ??
"Seneca":
Che corso di analisi stai seguendo? E' strano che l'unico modo che tu abbia a disposizione per decidere se un integrale improprio esista o meno sia il teorema fondamentale del calcolo.
Il corso è "Matematica del Continuo" del DTI di Crema: http://www.dti.unimi.it/cariboni/MCnew/MC_270.htm
"Seneca":Non ho ben capito cosa intendi. A me viene che quell'integrale diverge.
A titolo di cronaca credo sia più corretto dire che non esiste , poiché quella funzione non è integrabile in senso improprio in $[c,3)$, $AA c in RR^+$
Che poi si voglia dire "divergente" è un di più che si potrebbe omettere.
Siccome gli integrali in senso improprio sono riconducibili a limiti,
e nei limiti c'è differenza tra "non esiste il limite" e "il limite diverge a $+oo$",
direi che si può usare la stessa notazione anche negli integrali.
Per carità, magari sbaglio (sinceramente non mi ricordo molto bene)
"pol20":
Una cosa...non ho capito perchè dato che f(x) è infinito in 3 allora diverge O.o
È una particolare proprietà degli integrali/infiniti/altro ??
Dire che per $x -> 3$ $f(x)$ diverge significa dire che per $x -> 3$ , $|f(x)| -> +oo$.
Di conseguenza la $f$ per $x -> 3$ si dice infinito.
L'ordine lo puoi trovare (se è possibile farlo) confrontando $f(x)$ con $1/(x - 3)^alpha$ , $alpha > 0$ , che è detto infinito campione; cioè trovando $alpha$ affinché il limite seguente sia un numero reale diverso da $0$:
$lim_( x -> 3 ) (f(x))/(1/(x - 3)^alpha) = lim_( x -> 3 ) f(x) *(x - 3)^alpha $
Ma se non hai alba di ciò di cui sto scrivendo, non è il caso di confonderti le idee.
No, non ho nè alba nè tramonto xD
Quindi tornando all'integrale:
$(2x)/((x-3)^2(x+3)^2)$
faccio i fratti semplici e diventa:
$A/(x-3)+B/(x+3)+C/((x-3)(x+3))+D/((x-3)(x+3))^2$
giusto?
Quindi tornando all'integrale:
$(2x)/((x-3)^2(x+3)^2)$
faccio i fratti semplici e diventa:
$A/(x-3)+B/(x+3)+C/((x-3)(x+3))+D/((x-3)(x+3))^2$
giusto?
"Gi8":
Per carità, magari sbaglio (sinceramente non mi ricordo molto bene)
L'ho scritto prima: in questo caso una definizione vale l'altra, l'importante è che ci si capisca...
A me sembra che sia:
$A/(x-3) + B/(x - 3)^2 + C/(x+3) + D/(x+3)^2$
$A/(x-3) + B/(x - 3)^2 + C/(x+3) + D/(x+3)^2$
Yea ora provo!! Grazie intanto 
EDIT: viene na roba lunghissima -.-'' O.o
EDIT: viene na roba lunghissima -.-'' O.o
Se proprio bisogna risolvere trovando la primitiva,
$t=x^2-9=> int_(-5)^(0) 1/t^2 dt$
"pol20":Non era cento volte meglio procedere per sostituzione?
$int_2^3 (2x)/(x^2-9)^2dx$
$t=x^2-9=> int_(-5)^(0) 1/t^2 dt$
Meglio...provo con quello grazie
Adesso scusa io son tardo nella matematica ma non mi sembra sia speigato granchè bene nelle dispense no?
http://www.dti.unimi.it/cariboni/MCnew/ ... egrali.pdf
http://www.dti.unimi.it/cariboni/MCnew/ ... egrali.pdf
Non capisco come funziona...allora
1. pongo $t=x^2-9$
2. trovo estremi ponendo $t=x^2-9$ con $x=3$ e $x=2$, trovo così:
$int_-5^0 (2x)/t^2dx$
Ok...ora:
3. Trovo la x -> $x=sqrt(t+9)$
Per trovare dx faccio la derivata quindi:
4. $dx= 1/(2sqrt(t+9))$
Ora...?
1. pongo $t=x^2-9$
2. trovo estremi ponendo $t=x^2-9$ con $x=3$ e $x=2$, trovo così:
$int_-5^0 (2x)/t^2dx$
Ok...ora:
3. Trovo la x -> $x=sqrt(t+9)$
Per trovare dx faccio la derivata quindi:
4. $dx= 1/(2sqrt(t+9))$
Ora...?
devi tenere presente che $dt=2xdx$
Quindi avrò:
$(2sqrt(t+9))*1/(2sqrt(t+9)) = 1 -> dt=1$
$int_-5^0 1/t^2dt$
...ora???
$(2sqrt(t+9))*1/(2sqrt(t+9)) = 1 -> dt=1$
$int_-5^0 1/t^2dt$
...ora???
Ma no!
Hai $int 2x/(x^2-9)^2 dx$
Posto $t=x^2-9$, hai che $dt=d(x^2-9)=2xdx$
L'integrale diventa $int 1/t^2dt$
Hai $int 2x/(x^2-9)^2 dx$
Posto $t=x^2-9$, hai che $dt=d(x^2-9)=2xdx$
L'integrale diventa $int 1/t^2dt$
Aaaaah perchè ho 1dt e quindi resta 1!!!
Ok!
E come si prosegue?
Ok!
E come si prosegue?
Beh, immagino che tu sappia risolvere $int_(-5)^0 1/t^2 dt$ E' del tipo $int_a^b t^alpha dt $
Si:
$lim_(c->0) t^-3/-3|_-5^c$
Ma ora non devo "ritornare alla x" ??
$lim_(c->0) t^-3/-3|_-5^c$
Ma ora non devo "ritornare alla x" ??
Primo: non è quella la primitiva corretta, attento.
Secondo: no, non è necessario.
Trattandosi di un integrale definito,
poichè hai modificato gli estremi di integrazione in funzione della sostituzione effettuata, ciò porta al risultato senza dovere ri-sostituire all'indietro.
Secondo: no, non è necessario.
Trattandosi di un integrale definito,
poichè hai modificato gli estremi di integrazione in funzione della sostituzione effettuata, ciò porta al risultato senza dovere ri-sostituire all'indietro.
Che idiota è +1 non -1!
quindi
$lim_(c->0) -t^-1|_-5^c$
quindi
$lim_(c->0) -t^-1|_-5^c$
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