Risolto il problema dell'Urang Utang?
Buongiorno a tutti,
apro questo post nonostante ce ne siano già diversi con l'obiettivo di provare a dare anche il mio contributo.
Nel mio libro di analisi il differenziale viene definito in questo modo:
cercando un po' tra i vari topic in cui si è discusso questo argomento mi pare non sia mai stato preso in considerazione il concetto di o-piccolo per provare a dare rigore alla moltiplicazione/divisione selvaggia per un incremento "molto" piccolo.
Una formulazione di questo tipo potrebbe risolvere l'annosa questione senza scomodare l'analisi non standard?
apro questo post nonostante ce ne siano già diversi con l'obiettivo di provare a dare anche il mio contributo.
Nel mio libro di analisi il differenziale viene definito in questo modo:
cercando un po' tra i vari topic in cui si è discusso questo argomento mi pare non sia mai stato preso in considerazione il concetto di o-piccolo per provare a dare rigore alla moltiplicazione/divisione selvaggia per un incremento "molto" piccolo.
Una formulazione di questo tipo potrebbe risolvere l'annosa questione senza scomodare l'analisi non standard?
Risposte
No, non risolve nulla.
Ed una definizione di differenziale corretta appartiene al bagaglio culturale di quasi tutti gli utenti che ne hanno discusso nei tempi passati.
Ed una definizione di differenziale corretta appartiene al bagaglio culturale di quasi tutti gli utenti che ne hanno discusso nei tempi passati.
"gugo82":
No, non risolve nulla.
Ed una definizione di differenziale corretta appartiene al bagaglio culturale di quasi tutti gli utenti che ne hanno discusso nei tempi passati.
Capisco grazie.
La definizione di differenziale che ho allegato è quella “classica”? In altri testi non ho visto l’utilizzo dell’approssimazione di Taylor.
Non è "classica"; è scritta male.
Non sono d'accordo, gugo82. Non è scritta male, è scritta molto male.
Mi domando chi possa aver scritto una simile sconcezza.
E, poi, al di la delle sciocchezze che ci sono scritte, richiamare il teorema di Taylor per introdurre l'idea di differenziale è... da lasciare senza parole (insulti a parte).
[size=85]PS:
Ovviamente mi aveva colpito leggere "urang-utang"
[/size]
Mi domando chi possa aver scritto una simile sconcezza.
E, poi, al di la delle sciocchezze che ci sono scritte, richiamare il teorema di Taylor per introdurre l'idea di differenziale è... da lasciare senza parole (insulti a parte).
[size=85]PS:
Ovviamente mi aveva colpito leggere "urang-utang"
[/size]
"Fioravante Patrone":
Non sono d'accordo, gugo82. Non è scritta male, è scritta molto male.
Perché mi sono automoderato... La versione originale era: Non è "classica"; è sbagliata.
"Fioravante Patrone":
Mi domando chi possa aver scritto una simile sconcezza.
Qualcuno che per mestiere si occupa d'altro, tipo combinatoria e teoria dei grafi.
"Fioravante Patrone":
E, poi, al di la delle sciocchezze che ci sono scritte, richiamare il teorema di Taylor per introdurre l'idea di differenziale è... da lasciare senza parole (insulti a parte).
Eh, ma se no a che serve il teorema di Taylor?!?! Non ha alcuna utilità pratica!
"Fioravante Patrone":
[size=85]PS:
Ovviamente mi aveva colpito leggere "urang-utang"
[size=85]È il richiamo della foresta...[/size]
Mi piacerebbe chiedervi una cosa su questo, ho letto il pdf dell U-U e ho capito bene le critiche esposte al metodo "ingengeristico", ed è motlo interessante perché è un problema che chi studia un minimo la fisica universitaria si deve trovare ad armeggiare.
C'è tuttavia una cosa che forse non comprendo pienamente e mi piacerebbe porre una domanda a voi che in prima linea avete coniato questo termine. Non ho capito perché non posso però scrivere $df=f'dx$, è una domanda forte ma cerco di chiarire: mi sembra sia corretto poterlo scrivere ma insensato poi integrare.
mi spiego:
io so che il differenziale è una funzione a due variabili (cioè del punto x e incremento h nel punto) per cui vale quanto segue: f è differenziabile se esiste la funzione in due variabili $psi(x,h)$ (funzione del punto e incremento) t.c $f(x+h)-f(x)=psi(h)+o(h)$, e $psi$ prende il nome di differenziale.
Il $RR$ posso dimostrare che $psi(x,h)=f'(x)*h:=df(x,h)$
Esiste il differenziale per la funzione $x(x)=x$ e avremo che $dx(x,h)=h=x$, e quindi: $df(x,h):=f'(x)*h=f'(x)*dx$
A questo punto con tali definizioni mi pare di poter affermare che è effettivamente un rapporto $(df)/(dx)$ non solo più una notazione, in particolare un rapporto delle funzioni differenziale.
Questo mi permette di scrivere da $(df)/(dx)=f'(x) => df=f'(x)dx$ (che poi è una tautologia infatti essendo $df=f'(x)*dx$ ne consegue: $(df)/(dx)=(f'(x)*dx)/dx=f'(x)$, che scoperta!). Da qui in poi ovviamente non ha senso il concetto di integrare, però giocare col rapporto mi sembra fin qui sensato. Senza toccare nulla di "infinitesimo"
Non capisco se sbaglio e se sbaglio cosa sbaglio
C'è tuttavia una cosa che forse non comprendo pienamente e mi piacerebbe porre una domanda a voi che in prima linea avete coniato questo termine. Non ho capito perché non posso però scrivere $df=f'dx$, è una domanda forte ma cerco di chiarire: mi sembra sia corretto poterlo scrivere ma insensato poi integrare.
mi spiego:
io so che il differenziale è una funzione a due variabili (cioè del punto x e incremento h nel punto) per cui vale quanto segue: f è differenziabile se esiste la funzione in due variabili $psi(x,h)$ (funzione del punto e incremento) t.c $f(x+h)-f(x)=psi(h)+o(h)$, e $psi$ prende il nome di differenziale.
Il $RR$ posso dimostrare che $psi(x,h)=f'(x)*h:=df(x,h)$
Esiste il differenziale per la funzione $x(x)=x$ e avremo che $dx(x,h)=h=x$, e quindi: $df(x,h):=f'(x)*h=f'(x)*dx$
A questo punto con tali definizioni mi pare di poter affermare che è effettivamente un rapporto $(df)/(dx)$ non solo più una notazione, in particolare un rapporto delle funzioni differenziale.
Questo mi permette di scrivere da $(df)/(dx)=f'(x) => df=f'(x)dx$ (che poi è una tautologia infatti essendo $df=f'(x)*dx$ ne consegue: $(df)/(dx)=(f'(x)*dx)/dx=f'(x)$, che scoperta!
). Da qui in poi ovviamente non ha senso il concetto di integrare, però giocare col rapporto mi sembra fin qui sensato. Senza toccare nulla di "infinitesimo"Non capisco se sbaglio e se sbaglio cosa sbaglio
provo un up, mi incuriosiva 
"kaiz":
provo un up, mi incuriosiva
Ciao, hai per caso letto questo?
https://www.fioravante.patrone.name/mat ... gativo.pdf
Niente di che, sono solo alcune considerazioni molto semplici, solo un po' "interpretative".
Volendo invece rispondere alla sostanza della tua domanda, dico una cosa molto banale. Finché si fanno delle deduzioni corrette e si usano i simboli nel senso con in quale sono stati definiti, nessun problema. Se gli si vuole far cambiare di nascosto "natura", si va a sbattere. E, quel che è peggio, si portano altri a sbattere: per distrazione, disattenzione, fiducia in chi scrive (il solito principio di autorità che sembra essere inaffondabile)...
NB: a volte non è che ci sia un intento maligno in chi scrive. Magari proprio lo scrivente ha le idee confuse.
Cito un aneddoto, di tanti anni fa: a un convegno internazionale era presente un autore importante nel contesto della dinamica di popolazioni. Era però evidente, da quello che diceva/scriveva che avesse un po' di confusione in testa sui fondamentali delle equadiff. Provai a spiegarglielo, ma hai presente il famoso passo dantesco "non ti curar di loro ma guarda e passa"? Insomma, anche scienziati riveriti possono avere idee confuse, senza neanche rendersene conto.
La "è" di "Chi è dx" si perde nella testatina, probabilmente un problema di input encoding?
Grazie a tutti per le risposte.
@Fioravante Patrone: ho letto il tuo pdf e devo dire che alcune cose non le ho ancora viste, però mi pare di capire che il differenziale $alpha$ lo posso vedere come un elemento del duale? Questo mi pare sensto perché ad esempio in due variabili il differenziale sarebbe $nabla$ quindi il gradiente e nel prodotto con $(h,k)=(x-x_0,y-y_0)$ ho $nabla*(h,k)in RR$
Ma in sostanza in $RR$, il fatto che non appaia come duale (quindi il mio discorso del mio ultimo messaggio mi pare valido?) è dovuto al fatto che il differenziale va da $RR->RR$ ergo il duale è $RR$ stesso? Insomma, è mascherato.
@Fioravante Patrone: ho letto il tuo pdf e devo dire che alcune cose non le ho ancora viste, però mi pare di capire che il differenziale $alpha$ lo posso vedere come un elemento del duale? Questo mi pare sensto perché ad esempio in due variabili il differenziale sarebbe $nabla$ quindi il gradiente e nel prodotto con $(h,k)=(x-x_0,y-y_0)$ ho $nabla*(h,k)in RR$
Ma in sostanza in $RR$, il fatto che non appaia come duale (quindi il mio discorso del mio ultimo messaggio mi pare valido?) è dovuto al fatto che il differenziale va da $RR->RR$ ergo il duale è $RR$ stesso? Insomma, è mascherato.
"megas_archon":
La "è" di "Chi è dx" si perde nella testatina, probabilmente un problema di input encoding?
Non me ne ero mai accorto!
Come mai? Boh, ormai sono secoli che non uso più TeX e compagnia (non ho neanche più installato MiKTeX sul calcolatore, ammesso che si usi ancora). Quindi non ci provo neanche a rispondere. Dovrei prima recuperare il sorgente in qualcuno dei mille backup disordinati che ho fatto.
"kaiz":
...
Insomma, è mascherato.
Sì, si confonde nella notte, così come i gatti che son tutti bigi.
E' che finché si lavora in $RR$, salvo necessità impellenti (non so se ce ne possano essere), non vedo l'utilità didattica o pratica di tirar fuori il duale di $RR$.
Grazie di nuovo per l'aiuto!
Mi ero dimenticato di rispondere a questo:
. Dall'altro mi stupisce la poca umiltà nel sapere. Eppure dopo un percorso di studi enorme si dovrebbe rimanere umili sapendo che la conoscenza è immensa e se qualcuno ci può dare un punto di vista alternativo e valido, perché non ascoltarlo con la mente aperta?
Mi ero dimenticato di rispondere a questo:
NB: a volte non è che ci sia un intento maligno in chi scrive. Magari proprio lo scrivente ha le idee confuse.da un certo punto di vista mi rallegra perchè c'è speranza per tutti
Cito un aneddoto, di tanti anni fa: a un convegno internazionale era presente un autore importante nel contesto della dinamica di popolazioni. Era però evidente, da quello che diceva/scriveva che avesse un po' di confusione in testa sui fondamentali delle equadiff. Provai a spiegarglielo, ma hai presente il famoso passo dantesco "non ti curar di loro ma guarda e passa"? Insomma, anche scienziati riveriti possono avere idee confuse, senza neanche rendersene conto.
. Dall'altro mi stupisce la poca umiltà nel sapere. Eppure dopo un percorso di studi enorme si dovrebbe rimanere umili sapendo che la conoscenza è immensa e se qualcuno ci può dare un punto di vista alternativo e valido, perché non ascoltarlo con la mente aperta?
Potei gentilmente fare due domande sul pdf postato da Fioravante? perché ci sono due punti che non ho capito pienamente:
dove dice:
1) "se f è differenziabile, abbiamo $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$", ma se io sto definendo cosa è un differenziale noi gli $alpha_i$ non li conosciamo ancora giusto? Quindi come fatto nel punto prima calcolo $alpha$ su una base (la canonica) di $RR^n$, poi quindi come faccio a dire che il coefficiante vale la derivata parziale se è differenziabile? Mi sembra un cane che si morde la coda e quindi mi sfugge credo l'idea di quel passaggio logico.
Insomma io dico ho una f, dico che è differenziabile se esiste il differenziale $alpha$, poi asserisco che non so quanto valga alpha e per questo lo valuto sulla base canonica. poi magicamente dico ma se è differenziabile $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$. Non credo di aver capito
2) L'altro punto (ammesso di aver capito il punto 1 che userò qui) è dove si dice $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$ poiché lineare, anche qui presuppone che io sappia differenziare $Π_(x_i)$ ma a me in realtà sembra solo che a priori io so che essendo differenziabile esiste un $alpha_(Π)$, quindi potrei applicare tale $alpha_(Π)$ a un punto di $RR^n$ sia $P'=(x_1,0,...0)$, quindi posso scrivere: $alpha_(Π)(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i$, ma in questo modo non mi pare di aver trovato granché. Nn ho capito quindi come si ottenga a conti fatti $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$
Chiedo aiuto.
dove dice:
1) "se f è differenziabile, abbiamo $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$", ma se io sto definendo cosa è un differenziale noi gli $alpha_i$ non li conosciamo ancora giusto? Quindi come fatto nel punto prima calcolo $alpha$ su una base (la canonica) di $RR^n$, poi quindi come faccio a dire che il coefficiante vale la derivata parziale se è differenziabile? Mi sembra un cane che si morde la coda e quindi mi sfugge credo l'idea di quel passaggio logico.
Insomma io dico ho una f, dico che è differenziabile se esiste il differenziale $alpha$, poi asserisco che non so quanto valga alpha e per questo lo valuto sulla base canonica. poi magicamente dico ma se è differenziabile $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$. Non credo di aver capito
2) L'altro punto (ammesso di aver capito il punto 1 che userò qui) è dove si dice $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$ poiché lineare, anche qui presuppone che io sappia differenziare $Π_(x_i)$ ma a me in realtà sembra solo che a priori io so che essendo differenziabile esiste un $alpha_(Π)$, quindi potrei applicare tale $alpha_(Π)$ a un punto di $RR^n$ sia $P'=(x_1,0,...0)$, quindi posso scrivere: $alpha_(Π)(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i$, ma in questo modo non mi pare di aver trovato granché. Nn ho capito quindi come si ottenga a conti fatti $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$
Chiedo aiuto.
Sia 1) sia 2): basta fare le semplici dimostrazioni usando la definizione.
Ok per la 2) probabilmente avevo già la soluzioone sottomano in quello che ho scritto:
Sfruttando $P'=(0,...,x_i,...0)$
$dΠ_(x_i)(P')=alpha_(pi_(x_1))(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i=Π_(x_i)(P')$ da cui deduco (essendo valido per qualunque punto -ossia qualunque elemendo del dominio-) $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$. Mi sembra funzionare no?
per la 1) invece non capisco io so che $alpha(t)=sum_ialpha_it_i$ e con questa definizione come inferisco che data f differenziabile allora $alpha_i$ sono le derivate parziali? Non ho davvero capito questo
Sfruttando $P'=(0,...,x_i,...0)$
$dΠ_(x_i)(P')=alpha_(pi_(x_1))(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i=Π_(x_i)(P')$ da cui deduco (essendo valido per qualunque punto -ossia qualunque elemendo del dominio-) $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$. Mi sembra funzionare no?
per la 1) invece non capisco io so che $alpha(t)=sum_ialpha_it_i$ e con questa definizione come inferisco che data f differenziabile allora $alpha_i$ sono le derivate parziali? Non ho davvero capito questo
Non capisco le tue perplessità.
Come dice gugo82 ci sono dietro delle semplici dimostrazioni, del tutto standard, che si fanno in ogni corso di analisi per funzioni di più variabili. Ho visto che cito addirittura un testo come riferimento: sarebbe quello che "seguivo"(*) per il corso di analisi due.
Provo comunque a rispondere in modo "discorsivo", se potesse servire.
Quando si dà la definizione di differenziabilità si vuole sapere se la funzione $f$ è (localmente, vicino a un dato punto) "ben" approssimabile da una funzione lineare.
Quindi, giustamente, si cerca di vedere se c'è una funzione lineare (chiamiamola $\alpha$) che ci dà una buona approssimazione. A priori non escludiamo neanche che ce ne possa essere più d'una di queste funzioni lineari affezionate alla nostra funzione.
Ma, toh! Si dimostra che:
- ce n'è al più una di queste funzioni lineari (e potevamo ben immaginarlo: se chiediamo una approssimazione migliore di una lineare, come diavolo possiamo pensare che ce ne siano due di queste approssimazioni? Se ho due funzioni lineari e voglio che siano tra loro vicine "più che linearmente", non c'è scampo: devono coincidere!)
- e se questa al più unica funzione lineare c'è, allora le sue componenti (gli $\alpha_i$) coincidono con le derivate parziali di $f$ nel punto. Anche qui, potevamo aspettarcelo, neh!
Ribadisco, come già detto da gugo82, queste chiacchiere si trasformano abbastanza facilmente in dimostrazioni.
(*) non sono mai stato capace di "seguire" un testo. Neanche riuscivo a "seguire" le mie dispense di analisi uno, nonostante la fatica che mi era costato farle. Non so se è roba di cui vantarsi. Temo di no
Come dice gugo82 ci sono dietro delle semplici dimostrazioni, del tutto standard, che si fanno in ogni corso di analisi per funzioni di più variabili. Ho visto che cito addirittura un testo come riferimento: sarebbe quello che "seguivo"(*) per il corso di analisi due.
Provo comunque a rispondere in modo "discorsivo", se potesse servire.
Quando si dà la definizione di differenziabilità si vuole sapere se la funzione $f$ è (localmente, vicino a un dato punto) "ben" approssimabile da una funzione lineare.
Quindi, giustamente, si cerca di vedere se c'è una funzione lineare (chiamiamola $\alpha$) che ci dà una buona approssimazione. A priori non escludiamo neanche che ce ne possa essere più d'una di queste funzioni lineari affezionate alla nostra funzione.
Ma, toh! Si dimostra che:
- ce n'è al più una di queste funzioni lineari (e potevamo ben immaginarlo: se chiediamo una approssimazione migliore di una lineare, come diavolo possiamo pensare che ce ne siano due di queste approssimazioni? Se ho due funzioni lineari e voglio che siano tra loro vicine "più che linearmente", non c'è scampo: devono coincidere!)
- e se questa al più unica funzione lineare c'è, allora le sue componenti (gli $\alpha_i$) coincidono con le derivate parziali di $f$ nel punto. Anche qui, potevamo aspettarcelo, neh!
Ribadisco, come già detto da gugo82, queste chiacchiere si trasformano abbastanza facilmente in dimostrazioni.
(*) non sono mai stato capace di "seguire" un testo. Neanche riuscivo a "seguire" le mie dispense di analisi uno, nonostante la fatica che mi era costato farle. Non so se è roba di cui vantarsi. Temo di no
No ma non erano perplessità semplicemente mi sono bloccato sul come farle. Non era un dire "è sbagliato" era un "come si fa?"
Ora, quella che scrivevo in risposta @gugo82 nel mio ultimo messaggio mi pare giusta, l'altra non sapevo bene come fare e per questo avevo chiesto a gugo dato che mi aveva risposto
Purroppo quel testo non ce l'ho sennò avrei spulciato
Per il resto ti ringrazio: Quello che dici mi è chiaro.
PS: fortunato te che hai una mente così veloce da poter non dover seguire le dispense, se io non ci ragiono ore non ci arrivo XD
semplicemente mi sono bloccato sul come farle. Non era un dire "è sbagliato" era un "come si fa?"Ora, quella che scrivevo in risposta @gugo82 nel mio ultimo messaggio mi pare giusta, l'altra non sapevo bene come fare e per questo avevo chiesto a gugo dato che mi aveva risposto
Purroppo quel testo non ce l'ho sennò avrei spulciato
Per il resto ti ringrazio: Quello che dici mi è chiaro.
PS: fortunato te che hai una mente così veloce da poter non dover seguire le dispense, se io non ci ragiono ore non ci arrivo XD
@gugo82:
Scusa se ti rompo, ma dato che mi avevi dato risposta ci tenevo a capire questa cosa
Scusa se ti rompo, ma dato che mi avevi dato risposta ci tenevo a capire questa cosa
"tachiflupec":ècosì stupido che non posso sperare di avere risposta, vero?
Ok per la 2) probabilmente avevo già la soluzioone sottomano in quello che ho scritto:
Sfruttando $P'=(0,...,x_i,...0)$
$dΠ_(x_i)(P')=alpha_(pi_(x_1))(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i=Π_(x_i)(P')$ da cui deduco (essendo valido per qualunque punto -ossia qualunque elemendo del dominio-) $dΠ_(x_i)=Π_(x_i)$. Mi sembra funzionare no?
per la 1) invece non capisco io so che $alpha(t)=sum_ialpha_it_i$ e con questa definizione come inferisco che data f differenziabile allora $alpha_i$ sono le derivate parziali? Non ho davvero capito questo
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