Risolto il problema dell'Urang Utang?

[Lorenzo_f]

Buongiorno a tutti,
apro questo post nonostante ce ne siano già diversi con l'obiettivo di provare a dare anche il mio contributo.
Nel mio libro di analisi il differenziale viene definito in questo modo:



cercando un po' tra i vari topic in cui si è discusso questo argomento mi pare non sia mai stato preso in considerazione il concetto di o-piccolo per provare a dare rigore alla moltiplicazione/divisione selvaggia per un incremento "molto" piccolo.
Una formulazione di questo tipo potrebbe risolvere l'annosa questione senza scomodare l'analisi non standard?

[gugo82]

"tachiflupec":@gugo82:
Scusa se ti rompo, ma dato che mi avevi dato risposta ci tenevo a capire questa cosa
[quote="tachiflupec"]Ok per la 2) probabilmente avevo già la soluzioone sottomano in quello che ho scritto:
Sfruttando $ P'=(0,...,x_i,...0) $
$ dΠ_(x_i)(P')=alpha_(pi_(x_1))(P')=(partialΠ)/(partialx_i)*x_i=x_i=Π_(x_i)(P') $ da cui deduco (essendo valido per qualunque punto -ossia qualunque elemendo del dominio-) $ dΠ_(x_i)=Π_(x_i) $. Mi sembra funzionare no?

per la 1) invece non capisco io so che $ alpha(t)=sum_ialpha_it_i $ e con questa definizione come inferisco che data f differenziabile allora $ alpha_i $ sono le derivate parziali? Non ho davvero capito questo

ècosì stupido che non posso sperare di avere risposta, vero? [/quote]
Se usi la formula del differenziale stai già supponendo che $\Pi_i$ sia differenziabile, quindi non va mica bene.

Piuttosto, usa la definizione.[nota]Uso le mie notazioni: $mathbf(h)=(h_1,...,h_n)$ sono gli elementi di $RR^n$ riguardati come vettori; $P$ gli elementi di $RR^n$ riguardati come punti; $mathbf(e)_i$ è l'$i$-esimo vettore della base canonica e $<<*,*>>$ è il prodotto scalare di $RR^n$ come spazio vettoriale euclideo.[/nota]
La $\Pi_i$ è differenziabile in $P_0$ solo se esiste un vettore $mathbf(l)$ tale che:
\[
\lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}} \frac{\big| \Pi_i(P_0 + \mathbf{h}) - \Pi_i(P_0) - \langle \mathbf{l}, \mathbf{h}\rangle \big|}{\| \mathbf{h}\|} = 0\; ;
\]
visto che $\Pi_i (P_0 + mathbf(h)) = << mathbf(e)_i, P_0 - O + mathbf(h)>>$ e $Pi_i(P_0) = <>$, hai $Pi_i(P_0 + mathbf(h)) - Pi_i(P_0) = <>$, quindi affinché sia verificata la condizione di differenziabilità basta prendere $mathbf(l) = mathbf(e)_i$.
Dunque $"d"Pi_i(mathbf(h); P_0) = << mathbf(e)_i, mathbf(h)>>$, cioè l'applicazione lineare $"d"Pi_i(* ; P_0)$ si rappresenta mediante il prodotto scalare contro l'$i$-esimo vettore della base canonica e "coincide" con la stessa proiezione $Pi_i$.
Uso le virgolette in "coincide", perché questo è un abuso di linguaggio: infatti la $Pi_i$ da cui partiamo è una funzione definita sugli elementi di $RR^n$ riguardati come punti; mentre la $Pi_i$ cui arriviamo è una funzione definita sugli elementi di $RR^n$ riguardati come vettori (i.e., la prima è un'applicazione che agisce sui punti, la seconda agisce sui vettori).

[tachiflupec]

Ho capito, grazie mille!
Onestamente non ci avrei mai pensato, più che altro sfruttare il vettore l nel prodotto scalare per arrivare a far uscire quanto voluto. Una volta visto ho detto "cavolo è vero" ma non ci avevo prprio pensato. Che noia non avere mai una buoana idea

Mi piacerebbe solo chiederti una cosa su quanto hai mostrato, il fatto che la mia pi, come rimarchi, agisca da una parte come funzione su punti e dall'altra come mappa su vettori la rende di per sé in realtà una mappa intrinsecamente diversa, e questo non mi crea problemi a usarle in modo indistinto?

Comunque ruguardo quello che facevi notare, infatti io avevo detto "supponendo di aver capito perché differenziabile la pi", perché pensavo di trovare risposta dal punto 1) e quindi per dimstrare 2) sfruttavo 1). Invece 2) andava dimostrata separatamente dalla 1). Tuttavia...

Rimane però come dubbio la
:

1) "se f è differenziabile, abbiamo $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$", ma se io sto definendo cosa è un differenziale noi gli $alpha_i$ non li conosciamo ancora giusto? Quindi come fatto nel punto prima calcolo $alpha$ su una base (la canonica) di $RR^n$, poi quindi come faccio a dire che il coefficiante vale la derivata parziale se è differenziabile? Mi sembra un cane che si morde la coda e quindi mi sfugge credo l'idea di quel passaggio logico.
Insomma io dico ho una f, dico che è differenziabile se esiste il differenziale $alpha$, poi asserisco che non so quanto valga alpha e per questo lo valuto sulla base canonica. poi magicamente dico ma se è differenziabile $alpha_i=(partialf)/(partialx_i)(P_0)$. Non credo di aver capito

da cui non ho capito come districarmi.

Posso chiederti una mano anche in questo?

[kaiz]

senza superare la domanda di tachiflu che ha la precedenza essendo intervenuto prima, mi incuriosisce un passaggio

"gugo82":hai $Pi_i(P_0 + mathbf(h)) - Pi_i(P_0) = <>$, quindi affinché sia verificata la condizione di differenziabilità basta prendere $mathbf(l) = mathbf(e)_i$.

per quale motivo se nel limite ho che $<> - <>=0$ nel limite del rapporto con la norma con h allora deduco $e_i=l$?
mi sfugge perché non possa esistere un altro $l=m_i$ che possa mandare a zero il limite. Ma che valga solo per l'uguaglianza.

[gugo82]

@tachiflupec: Il problema, probabilmente, è che ti hanno dato una pessima definizione di differenziale.

Vediamo:

Siano $Omega sube RR^n$ un aperto, $f : Omega -> RR$ e $P_0 in Omega$.

Si dice che $f$ è differenziabile in $P_0$ se e solo se esiste una funzione lineare $L:RR^n -> RR$ tale che:

$lim_(mathbf(h) -> mathbf(0)) |f(P_0 + mathbf(h)) - f(P_0) - Lmathbf(h)|/norm(mathbf(h)) = 0$.

e, dato che le funzioni lineari di $RR^n$ in $RR$ si rappresentano con il prodotto scalare canonico, possiamo riscrivere:

Si dice che $f$ è differenziabile in $P_0$ se e solo se esiste un vettore $mathbf(l) in RR^n$ tale che:

$lim_(mathbf(h) -> mathbf(0)) |f(P_0 + mathbf(h)) - f(P_0) - <>|/norm(mathbf(h)) = 0$.

Si dimostrano facilmente, come già diceva FP, due cose (e ciò risponde pure a kaiz):

[list=1][*:39vuuku9] l'applicazione lineare $L$ o, ciò che è lo stesso, il vettore $mathbf(l)$ sono unici e dipendono al più da $P_0$;

[/*:m:39vuuku9]
[*:39vuuku9] se $f$ è differenziabile in $P_0$, allora $f$ è parzialmente derivabile rispetto a tutte le variabili in $P_0$ ed il vettore $mathbf(l)$ coincide col gradiente di $f$ in $P_0$, cioè:

$l_i = (partial f)/(partial x_i)(P_0)$ per ogni $i=1,...,n$.[/*:m:39vuuku9][/list:o:39vuuku9]

Quindi, a posteriori, è sensato dare la (pessima) definizione di differenziabilità che si dà di solito:

Si dice che $f$ è differenziabile in $P_0$ se e solo se $f$ è parzialmente derivabile in $P_0$ rispetto a tutte le variabili da cui dipende e risulta:

$lim_(mathbf(h) -> mathbf(0)) |f(P_0 + mathbf(h)) - f(P_0) - <>|/norm(mathbf(h)) = 0$.

la quale però non fa capire cosa significhi davvero la differenziabilità né quali sono i suoi rapporti con la derivabilità semplice.

[kaiz]

@gugo82: e niente leggere le tue risposte imparo sempre una montagna di roba.

Volevo chiedere solo due cose,

1)

l'applicazione lineare L o, ciò che è lo stesso, il vettore l sono unici e dipendono al più da P0;

l'unicità chiude il discorso, però volevo chiederti, nel mentre mi ero risposto così e mi sembra dimostrare quello che chiedevo prima (insomma una seconda via che mi sembra valida ma vorrei esserne certo)

faccio in $RR^2$ ma generalizzabile:

$lim_(h->(0,0)) (<> - <>)/||h||=lim_(h->(0,0)) (<>)/||h||$

ora se definisco un versore $v$ ho che $h=||h||*v$, da cui:

$lim_(h->(0,0)) (<>||h||)/||h||=lim_(h->(0,0)) <>=0$, ma in questo modo ho un limite che non dipende da h, e quindi quello è vero (ossia pari a zero) se e solo se $l=e_i$

Alla fine di fatti ho $<>=(e_1-l_1,e_2-l_2)*(v_1,v_2)=(0,0)$ per ogni $v_1$ e $v_2$ (dato che era per ogni $h$ tendente a $(0,0)$ e quelli sono i sui versori) se e solo se $e_1-l_1=0$ ed $e_2-l_2=0$

Mi pare sensato, no?


2)
La cosa che chiedeva tachiflupec mi incuriosiva:

Mi piacerebbe solo chiederti una cosa su quanto hai mostrato, il fatto che la mia pi, come rimarchi, agisca da una parte come funzione su punti e dall'altra come mappa su vettori la rende di per sé in realtà una mappa intrinsecamente diversa, e questo non mi crea problemi a usarle in modo indistinto?

a intuito non crea grossi problemi però vorrei essere certo del perché formale (dato che come mappa opera su due entità in realtà distinte).

Grazie ancora!

PS: oddio volevo modificare un typo e ho cancellato, per fortuna mi era rimasto in crono! :'D

[gugo82]

"kaiz":@gugo82: e niente leggere le tue risposte imparo sempre una montagna di roba.

Prego.

"kaiz":Volevo chiedere solo due cose,

1)

l'applicazione lineare L o, ciò che è lo stesso, il vettore l sono unici e dipendono al più da P0;

l'unicità chiude il discorso, però volevo chiederti, nel mentre mi ero risposto così e mi sembra dimostrare quello che chiedevo prima (insomma una seconda via che mi sembra valida ma vorrei esserne certo)

faccio in $RR^2$ ma generalizzabile:

$lim_(h->(0,0)) (<> - <>)/||h||=lim_(h->(0,0)) (<>)/||h||$

ora se definisco un versore $v$ ho che $h=||h||*v$, da cui:

$lim_(h->(0,0)) (<>||h||)/||h||=lim_(h->(0,0)) <>=0$, ma in questo modo ho un limite che non dipende da h, e quindi quello è vero (ossia pari a zero) se e solo se $l=e_i$

Alla fine di fatti ho $<>=(e_1-l_1,e_2-l_2)*(v_1,v_2)=(0,0)$ per ogni $v_1$ e $v_2$ (dato che era per ogni $h$ tendente a $(0,0)$ e quelli sono i sui versori) se e solo se $e_1-l_1=0$ ed $e_2-l_2=0$

Mi pare sensato, no?

Sì, è sensatissimo!

Oppure, puoi prendere $mathbf(h) = h mathbf(e)_j$ (con $h > 0$ ed $mathbf(e)_j$ nella base canonica per $j =1,..., n$) ed ottenere $<< mathbf(e)_i - mathbf(l), mathbf(e)_j>> = 0$ per $j = 1, ..., n$, cosicché $mathbf(e)_i - mathbf(l)$ ha tutte le coordinate nulle e $mathbf(e)_i - mathbf(l) = mathbf(0)$.

"kaiz":2)
La cosa che chiedeva tachiflupec mi incuriosiva:

Mi piacerebbe solo chiederti una cosa su quanto hai mostrato, il fatto che la mia pi, come rimarchi, agisca da una parte come funzione su punti e dall'altra come mappa su vettori la rende di per sé in realtà una mappa intrinsecamente diversa, e questo non mi crea problemi a usarle in modo indistinto?

a intuito non crea grossi problemi però vorrei essere certo del perché formale.

Non li crea fintantoché si tagliano le cose con l'accetta... Poi, ad un certo punto, c'è bisogno di distinguere seriamente quale applicazione si usa per fare cosa ed allora è importante saperlo esplicitare.

[kaiz]

Ho capito il tuo suggerimento , in effetti mi ero fossilizzato sul prendere un qualunque h tendente a (0,0) e quindi avevo preso un versore v generico, ma in effetti basta torvarne uno, cioè $e_j$ per cui mostro che $e_i-l=0$. ora, questo vale per un singolo $e_j$, ma per genericità della j nella base trovo che vale per ogni vettore => $e_i=l$

Non li crea fintantoché si tagliano le cose con l'accetta... Poi, ad un certo punto, c'è bisogno di distinguere seriamente quale applicazione si usa per fare cosa ed allora è importante saperlo esplicitare.

Ok quindi diciamo che per ora lo accetto[nota]con l'accetta [/nota] così e lo nascondo sotto al tappeto . E mi accontento per ora che siano "identificabili".
Mi pare di capireche l'argomento sia più spinoso di quello che credevo...

Grazie (di nuovo) per tutto gugo82! Sei stato gentilissimo nell'aiutarmi.