[RISOLTO] Espressione integrale in termini di $\beta(x;y)$

[edmz]

Sia
$$ I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-u^3}} du$$

che mi sembra esprimibile in termini di $ B(x,y) $ e, quindi, $\Gamma(x)$; infatti, WA ne trova una forma chiusa:
$$ I = \frac{\sqrt\pi\Gamma\left(\frac43\right)}{\Gamma\left(\frac56\right)} $$
cosa che mi rende un'attimino perplesso poiché $4/3+1/2 \ne 5/6$ per la nota corrispondenza tra le due funzioni. Suggerimenti?

[pilloeffe]

Ciao edmz,

L'integrale proposto è il seguente:

$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-u^3}} du $

Posto $x := u^3 \implies dx = 3u^2 du \implies du = frac{dx}{3u^2} = frac{1}{3} frac{dx}{x^{2/3}} $, per cui si ha:

$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-u^3}} du = frac{1}{3} \int_0^1 (1-x)^{-1/2} x^{- 2/3} dx = frac{1}{3} \int_0^1 x^{1/3 - 1} (1-x)^{1/2 - 1} dx = frac{1}{3} B(1/3, 1/2) =$
$= frac{1}{3} frac{\Gamma(1/3) \Gamma(1/2)}{\Gamma(5/6)} = frac{frac{1}{3}\Gamma(1/3) sqrt{\pi}}{\Gamma(5/6)} = frac{\Gamma(4/3) sqrt{\pi}}{\Gamma(5/6)} $

che coincide con la soluzione fornita da WolframAlpha.

[edmz]

Precisamente, pilloeffe. Ti ringrazio.