[Risolto] Equazione differenziale di secondo ordine lineare non omogenea

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Salve ragazzi , sto provando a svolgere il seguente esercizio :

$y'' +4y=5\sin(2x) $

Risolvo $y'' +4y=0$

pongo $y''=\lambda^2 e^x$ e $y=e^x$

$\lambda ^2 +4=0 $ ; $\lambda=\pm i2$

$y(x)=c_1\sin(2x) +c_2\cos(2x) $

Ora cerco soluzioni del tipo : $\alpha_1^{\prime} \sin(2x) +\alpha_2^{\prime} \cos(2x)$ Faccio il sistema :

\begin{equation}
\begin{cases}
\alpha _{1}^{'} \sin(2x) +\alpha _{2}^{'}\cos(2x)=0 \\ 2\alpha _{1}^{'} \cos(2x)-2\alpha _{2}^{'}\sin(2x)=5\sin(2x)
\end{cases}
\end{equation}

Come posso risolvere tale sistema , in modo da trovare $\alpha_1^{\prime} $ e $\alpha_2 ^{\prime} $ ??
Escludo per sottrazione , ho provato a ricavare dalla prima $\alpha_1^{\prime} $ per poi agire per sostituzione , ma non è stata una buona idea...Avete suggerimenti?
In generale esiste un modo per risolverli?
Grazie mille

[ciampax]

"MillesoliSamuele":
pongo $y''=\lambda e^x$ e $y=e^x$

Non ho capito il senso di quel "pongo": semmai poni $y=e^{\lambda x}$ e vedi come si trasforma l'equazione.

In ogni caso, per determinare la soluzione particolare attraverso il sistema legato alla variazione delle costanti, ti consiglio di usare la regola di Cramer. http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... ue_per_due

[***1117]

Quindi Applicando Cramer...

\[
\begin{pmatrix}
\sin(2x) & \cos(2x) \\
\cos(2x) & \sin(2x)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{'} \\
\alpha_{2}^{'} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
5\sin(2x) \\
\end{pmatrix}
\]


$\alpha_{1}^{'}= \frac{\sin(2x)\cos(2x)}{\sin^2(2x)-\cos^2(2x)} $ e
$\alpha_{2}^{'} = \frac{sen^2(2x)}{sen^2(2x)-cos^2(2x)}$

Integrando ho :
$\alpha_{1}^{'}=\frac{-log(\cos(4x))} {8} $ e
$\alpha_{2}^{'}=\frac{4x +\log(\cos(2x)-\sin(2x))}{8} -\log(sen(2x)+\cos(2x))$

Li sostituisco in y(x) .... e ottengo qualcosa di assurdo..

Il risultato è : $y(x) = c_1\sin(2x)+c_2\cos(2 x)-\frac{5}{4}x\cos(2x)$
Io ottengo tutt'altro...

Cosa non va?

[21zuclo]

come ti ha detto ciampax la regola di Cramer, e ok..

ma hai sbagliato dei calcoli..

il Wronskiano.. è così $ W(x)=( ( y_1(x) , y_2(x) ),( y'_1(x) , y'_2(x) ) ) $

e tu hai $ y_(1)(x)=\sin(2x), y_2(x)=\cos(2x) $

e le loro derivate sono $ y'_(1)(x)=2\cos(2x), y'_2(x)=-2\sin(2x) $

quindi ottieni $ W(x)=( ( \sin(2x) , cos(2x) ),( 2\cos(x) , -2\sin(2x) ) ) $

e $ det W(x)=-2\sin^2(2x)-2\cos^2(2x)=-2 $

quindi il sistema che hai è $ ( ( \sin(2x) , cos(2x) ),( 2\cos(2x) , -2\sin(2x) ) ) ((c'_1),(c'_2))=((0),(f(x))) $

ora applica Cramer (occhio che il determinante l'ho già calcolato una riga sopra)..

[***1117]

Bene... Quindi ora ho :

$\alpha_{1}^{'}=\frac{5}{2}\sin(2x)\cos(2x) $
$\alpha_{2}^{'}=\frac{-5}{2}\sin^2(2x)$


Da cui :

$\alpha_{1}=\frac{5}{16}\cos(4x) $
$\alpha_{2}=\frac{5}{16}(\sin(4x)-4x)cos(2x) $

Sostituendo ho :

$y(x)=\sin(2x)(\frac{5}{16}\cos(4x))+cos(2x)\frac{5}{16}(\sin(4x)-4x)cos(2x) $

Ottenendo infine :

$\bar{y}=c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x) +\sin(2x)(\frac{5}{16}\cos(4x))+cos(2x)\frac{5}{16}(\sin(4x)-4x)cos(2x) $

Mentre il risultato deve essere : $y(x) = c_2 \sin(x)+c_1 cos(x)-\frac{5}{4}x \cos(2 x)$

Il termine $frac{-5}{4}x \cos(2 x)$ c'è si dovrebbero elidere gli altri due pezzi...

[21zuclo]

"MillesoliSamuele":Bene... Quindi ora ho :

$\alpha_{1}^{'}=\frac{5}{2}\sin(2x)\cos(2x) $
$\alpha_{2}^{'}=\frac{-5}{2}\sin^2(2x)$


Da cui :

$\alpha_{1}=\frac{5}{16}\cos(4x) $
$\alpha_{2}=\frac{5}{16}(\sin(4x)-4x)cos(2x) $

Attenzione ai segni!..

hai si..$\alpha_{1}^{'}=\frac{5}{2}\sin(2x)\cos(2x)$

ma $ 5/2 \int sin(2x)\cos(2x)=-5/16\cos(4x)+c $

rifai i conti e tieni d'occhio i segni!!!

per ricordarti quest'integrale pensa all'identità $ \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $

[***1117]

Ecco cosa non andava! Ora ho risolto finalmente e risulta!

Grazie mille per l'aiuto!