[risolto] considerazioni su una semplice disequazione
ho questa disequazione:
$ sqrt(1-x^2)-x > 0 $
ora quello che non riesco a capire, dal momento che il campo di esistenza ammette valori da -1 a 1, come mai la soluzione
$ -sqrt(1/2) $
non è accettabile?
$ sqrt(1-x^2)-x > 0 $
ora quello che non riesco a capire, dal momento che il campo di esistenza ammette valori da -1 a 1, come mai la soluzione
$ -sqrt(1/2) $
non è accettabile?
Risposte
E' giusto che non sia accettabile.
Prova a scrivere come hai risolto la disequazione, così trovo l'errore
Prova a scrivere come hai risolto la disequazione, così trovo l'errore
niente porto x all'altro membro, elevo tutto al quadrato e sposto la x da sinistra a destra, poi divido per 2 ed estraggo la radice e trovo le due soluzioni + o - 1/2
dov'è l'errore?
dov'è l'errore?
"fabioamd87":
niente porto x all'altro membro, elevo tutto al quadrato e sposto la x da sinistra a destra, poi divido per 2 ed estraggo la radice e trovo le due soluzioni + o - 1/2
dov'è l'errore?
La soluzione$-1/sqrt(2)$ è accettabile, ma non per il ragionamento che hai fatto tu. Infatti:
Porti $x$ all'altro membro e va bene.
Ora dici che elevi al quadrato.
Ma per elevare al quadrato, entrambe le quantità devono essere maggiori di 0, altrimenti non si può.
Devi perciò distinguere il caso $x<0$ e $x>0$
Quindi puoi elevare al quadrato quando imponi che $x>0$, ma non nell'altro caso
non riesco a capire come mai entrambe le quantità devono essere maggiori di zero... forse perche il quadrato cambia segno nel caso in cui son negative quindi dovrei cambiare anche quella della disuguaglianza??
"fabioamd87":
non riesco a capire come mai entrambe le quantità devono essere maggiori di zero... forse perche il quadrato cambia segno nel caso in cui son negative quindi dovrei cambiare anche quella della disuguaglianza??
Si, se una quantità è negativa la farai diventare positiva. Comunque a te non interessa il caso $x <= 0$, perchè avrai come soluzione immediata:
$sqrt(1 - x^2) > 0$ che è chiaramente sempre verificata. Invece nel caso $x > 0$ potrai togliere la radice, ma dovrai tenerti solo la soluzione positiva ovviamente..
"fabioamd87":
non riesco a capire come mai entrambe le quantità devono essere maggiori di zero... forse perche il quadrato cambia segno nel caso in cui son negative quindi dovrei cambiare anche quella della disuguaglianza??
Ti faccio un esempio che sono sicuro chiarirà la situazione.
Supponi di voler risolvere $sqrt(x)+2>0$.
La condizione di esistenza è $x>=0$ e fin qui tutto bene.
Ora porto dall'altra parte il 2 e ho:
$sqrt(x)> -2$
Ora col tuo ragionamento elevo al quadrato (mentre non si potrebbe perchè -2 non è maggiore o uguale a 0) e ho la soluzione
$x>4$
Tale soluzione è chiaramente sbagliata.
Infatti seprendo ad esempio $x=1$ ho $sqrt(1)=1> -2$ e quindi anche 1 è soluzione mentre col tuo ragionamento essa viene eliminata
credo di aver capito, in ogni caso ci va il meno davanti ai 2 vero?
quindi di preciso, come separare le soluzioni??
grazie mille.
quindi di preciso, come separare le soluzioni??
grazie mille.
"fabioamd87":
credo di aver capito, in ogni caso ci va il meno davanti ai 2 vero?
quindi di preciso, come separare le soluzioni??
grazie mille.
Sì, ci va il -2. Ho modificato.
Ora per separare le soluzioni devi considerare 2 sistemi distinti.
Uno quando $x<0$ (e mettere a sistema con le condizionio di esistenza e basta perchè poi se $x<0$ allora $sqrt(1-x^2)>x$ sempre)
e uno quando $x>=0$ (e mettere a sistema con le condizioni di esistenza e con $sqrt(1-x^2)>x$ che puoi questa volta elevare al quadrato)
ti ringrazio!
ma il campo di esistenza del mio esercizio, non dovrebbe essere 1-x²>0 e quindi tutti i valori compresi tra -1 ed 1?
ma il campo di esistenza del mio esercizio, non dovrebbe essere 1-x²>0 e quindi tutti i valori compresi tra -1 ed 1?
"fabioamd87":
ti ringrazio!
ma il campo di esistenza del mio esercizio, non dovrebbe essere 1-x²>0 e quindi tutti i valori compresi tra -1 ed 1?
Certo. Il campo di esistenza è questo. (però col maggiore o uguale, cioè $1-x^2>=0$ e quindi $-1<=x<=1$)
allora mi chiedo, dal momento che la soluzione $-1/sqrt(2)$ rientra nel campo di esistenza, come mai escluderla?
"fabioamd87":
allora mi chiedo, dal momento che la soluzione -1/2 rientra nel campo di esistenza, come mai escluderla?
Ma infatti non va esclusa.
Guarda la prima riga del secondo post che ti ho scritto.
allora ci deve essere un errore nel libro...
esercizio:
$ x+sqrt(1-x^2) $
trovare intervalli di crescenza decrescenza della funzione.
risposta:
str crescente in [ $ -1,1/sqrt(2) $ ], str decrescente in [$ 1/sqrt(2) , 1$] x = $ 1/sqrt(2) $ p.to di max rel.
esercizio:
$ x+sqrt(1-x^2) $
trovare intervalli di crescenza decrescenza della funzione.
risposta:
str crescente in [ $ -1,1/sqrt(2) $ ], str decrescente in [$ 1/sqrt(2) , 1$] x = $ 1/sqrt(2) $ p.to di max rel.
"fabioamd87":
esercizio:
$ x+sqrt(1-x^2) $
trovare intervalli di crescenza decrescenza della funzione.
Ehi, amico.
Guarda che tu prima hai postato l'esercizio
$ sqrt(1-x^2)-x $
e non l'esercizio
$sqrt(1-x^2)+x $ !
Forse è per questo che non ti trovi
bhe si ma derivando e facendo il m.c.m. al numeratore abbiamo la funzione del primo post, che dobbiamo porre > 0
Scrivi qui quanto ti esce la deivata di questa funzione
$ 1+(1/(2sqrt(1-x^2)))(-2x) $
Bene.
Ma allora ti dovrebbe uscire proprio il risultato del libro se imposti il sistema come ti ho detto di fare io.
Perchè non ti esce?
Ma allora ti dovrebbe uscire proprio il risultato del libro se imposti il sistema come ti ho detto di fare io.
Perchè non ti esce?
se il numeratore da 2 soluzioni, discordi, quindi positive per $ -1/sqrt(2) < x < +1/sqrt(x) $ la funzione cambia crescenza/decrescenza 2 volte...
come mai nel libro solo in $1/sqrt(2)$ ?
come mai nel libro solo in $1/sqrt(2)$ ?
Ok.
Facciamo un passo alla volta.
La tua derivata è questa:
$(sqrt(1-x^2)-x)/sqrt(1-x^2)$
e su questo siamo tutti e due d'accordo.
Ora devi trovare dove $(sqrt(1-x^2)-x)/sqrt(1-x^2)>=0$
Prima di tutto hai le condizioni di esistenza che sono, (dato che hai un denominatore e una radice), $-1
Ora abbiamo una disequazione fratta e quindi dobbiamo analizzare numeratore e denominatore.
Notiamo però che il denominatore è una radice quadrata e quindi (a patto di esistere, cioè a patto di aver imposto le condizioni di esistenza) è sempre positivo.
Perciò possiamo ridurci a risolvere $sqrt(1-x^2)-x>=0$
Fin qui sei d'accordo?
Facciamo un passo alla volta.
La tua derivata è questa:
$(sqrt(1-x^2)-x)/sqrt(1-x^2)$
e su questo siamo tutti e due d'accordo.
Ora devi trovare dove $(sqrt(1-x^2)-x)/sqrt(1-x^2)>=0$
Prima di tutto hai le condizioni di esistenza che sono, (dato che hai un denominatore e una radice), $-1
Ora abbiamo una disequazione fratta e quindi dobbiamo analizzare numeratore e denominatore.
Notiamo però che il denominatore è una radice quadrata e quindi (a patto di esistere, cioè a patto di aver imposto le condizioni di esistenza) è sempre positivo.
Perciò possiamo ridurci a risolvere $sqrt(1-x^2)-x>=0$
Fin qui sei d'accordo?
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