Richiesta esempio
Salve a tutti,
potete farmi un esempio di una funzione che all'infinito va a 0 ma la derivata prima, all'infinito, NON va a 0?
Grazie
potete farmi un esempio di una funzione che all'infinito va a 0 ma la derivata prima, all'infinito, NON va a 0?
Grazie
Risposte
Costruiscilo da te... È facile!
Prova a moltiplicare $1/x$ per una funzione limitata ma fortemente oscillante in $+oo$.
Prova a moltiplicare $1/x$ per una funzione limitata ma fortemente oscillante in $+oo$.
Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.
EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...
EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...
Uhm dunque ho preso
\( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{\cos(x)x - \sin(x)}{x^2} = \dfrac{\cos(x)}{x} - \dfrac{\sin(x)}{x^2} \)
Ma
\( \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0\)
No?
\( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{\cos(x)x - \sin(x)}{x^2} = \dfrac{\cos(x)}{x} - \dfrac{\sin(x)}{x^2} \)
Ma
\( \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0\)
No?
"Palliit":
Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.
EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...
Uhm mi sa che non sono così bravo
Ma non mi sembra una funzione continua quella che descrivi, no? Molto probabilmente ho capito male
Ok, il tuo esempio non funziona. Ma analizziamolo ugualmente (perché dai fallimenti si può sempre imparare!).
Qual è il problema nella tua derivata?
Ci sono entrambi gli addendi che tendono a zero.
Perché?
Perché la funzione seno, anche se limitata ed oscillante intorno a $+oo$, non oscilla abbastanza velocemente.
Come puoi modificarla?
Osserva che la velocità di oscillazione intorno a $+oo$ dipende da quanto velocemente tende a $+oo$ l'argomento del seno; dunque un'ottima idea potrebbe essere quella di sostituire alla $x$ nel seno una funzione che tenda a $+oo$ più velocemente di $x$...
Che mi dici ora?
Qual è il problema nella tua derivata?
Ci sono entrambi gli addendi che tendono a zero.
Perché?
Perché la funzione seno, anche se limitata ed oscillante intorno a $+oo$, non oscilla abbastanza velocemente.
Come puoi modificarla?
Osserva che la velocità di oscillazione intorno a $+oo$ dipende da quanto velocemente tende a $+oo$ l'argomento del seno; dunque un'ottima idea potrebbe essere quella di sostituire alla $x$ nel seno una funzione che tenda a $+oo$ più velocemente di $x$...
Che mi dici ora?
Dunque ho preso
\( f(x) = \dfrac{\sin(x^2)}{x} \) e sembra funzionare, perchè
\( f'(x) = 2\cos(x^2) - \dfrac{\sin(x^2)}{x^2}\)
All'infinito resta un termine che non va a 0
\( f(x) = \dfrac{\sin(x^2)}{x} \) e sembra funzionare, perchè
\( f'(x) = 2\cos(x^2) - \dfrac{\sin(x^2)}{x^2}\)
All'infinito resta un termine che non va a 0
Bravo.
Spero che tu abbia capito come funziona la creazione di un esempio/controesempio e, soprattutto, che non devi demordere, devi analizzare gli errori e devi cercare di porvi rimedio.
P.S.: Più in generale, analizzati il comportamento della funzione $x^(- alpha) sin (x^(beta))$ con $alpha , beta >0$.
Spero che tu abbia capito come funziona la creazione di un esempio/controesempio e, soprattutto, che non devi demordere, devi analizzare gli errori e devi cercare di porvi rimedio.
P.S.: Più in generale, analizzati il comportamento della funzione $x^(- alpha) sin (x^(beta))$ con $alpha , beta >0$.
"Palliit":
Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.
EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...
Mi dai dei suggerimenti ulteriori per costruire questa funzione?
@jack: più facile da descrivere qualitativamente che da esprimere analiticamente, la soluzione di @gugo è indubbiamente più immediata.
"gugo82":
non devi demordere, devi analizzare gli errori e devi cercare di porvi rimedio
Questo andrebbe affisso in tutte le aule di matematica, come il crocifisso. Anche io da studente questo non lo capivo: quando sbagliavo, pensavo fosse perché sono un cretino. Invece qualsiasi matematico comincia sbagliando e poi affina via via il ragionamento finché non diventa corretto. Ci azzecca al primo colpo solo chi ha già lavorato sulla domanda e quindi conosce già la risposta.
direi che il consiglio di gugo potrebbe funzionare anche in altri ambiti...
non solo di studio.
non solo di studio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo