Ricerca del dominio
diventa sempre più difficile riuscire a comprendere come determinare il dominio di una funzione. Ciò che è necessario sapere per la ricerca non è sufficiente per me perchènon riesco a trovare soluzione ai miei esercizi.
ad esempio: in $(sqrt(sqrt(2x^2-16x+28)-x)/(pi-2arctg(sqrt(3^(1/x)-2^(1/x))))^(x/(1-cosx))$
oppure
$log((|cosx|-sin2x)/(sqrt(pi^2-9arctg^2|((xsqrt3)/(x+1))|))$
ma come si può mai arrivare alla soluzione...farò confusione, non lo metto in dubbio ma, sebbne nel primo non abbia idee io per la risoluzione se non porre i radicandi >=0, ciò che è al denominatore diverso da 0....non saprei come procedere.
mentre nel secondo dovrei porre l'argomento del log >0 ciò che è sotto radice >0 , in quanto deve essere diverso da 0... ma arrivati i calcoli....da piangere....
ad esempio: in $(sqrt(sqrt(2x^2-16x+28)-x)/(pi-2arctg(sqrt(3^(1/x)-2^(1/x))))^(x/(1-cosx))$
oppure
$log((|cosx|-sin2x)/(sqrt(pi^2-9arctg^2|((xsqrt3)/(x+1))|))$
ma come si può mai arrivare alla soluzione...farò confusione, non lo metto in dubbio ma, sebbne nel primo non abbia idee io per la risoluzione se non porre i radicandi >=0, ciò che è al denominatore diverso da 0....non saprei come procedere.
mentre nel secondo dovrei porre l'argomento del log >0 ciò che è sotto radice >0 , in quanto deve essere diverso da 0... ma arrivati i calcoli....da piangere....
Risposte
"bad.alex":
diventa sempre più difficile riuscire a comprendere come determinare il dominio di una funzione.
Non ci sono più le funzioni di una volta!!
Eh, si stava meglio quando le funzioni erano costanti!!
(Scusa ma la battuta la volevo fare a tutti i costi..)
nella prima dovrebbe essere $D=(0, 4-sqrt(2)]uu[4+sqrt(2), +oo)-{2k pi, k in NN}$ ed il procedimento è piuttosto simpatico:
arctg(y) è sempre < $pi/2$, per cui il denominatore non si annulla mai.
$3^(1/x) >= 2^(1/x)$ sse $1/x > 0$ sse $x > 0$
$cosx = 1$ sse $x = 0 + 2k pi, k in ZZ$
$2x^2-16x+28 >= 0$ sse $x in (-oo, 4-sqrt(2)]uu[4+sqrt(2), +oo)$
poi abbiamo l'ultima disequazione:
$sqrt(2x^2-16x+28) >= x$
escludiamo il caso $x <= 0$ perché sappiamo già dai dati precedenti che deve essere $x > 0$
elevo al quadrato entrambi i membri e poi porto tutto al primo membro:
$2x^2-16x+28-x^2 >= 0$ sse $x <= -14 vv x >= -2$ (si poteva anche non risolvere, perché in caso di $Delta<0$ sarebbe stata sempre verificata, in caso di $Delta >=0$ le radici sono negative e la disuguaglianza è sempre verificata per $x>0$.
per l'altra mi manca un po'. ciao.
arctg(y) è sempre < $pi/2$, per cui il denominatore non si annulla mai.
$3^(1/x) >= 2^(1/x)$ sse $1/x > 0$ sse $x > 0$
$cosx = 1$ sse $x = 0 + 2k pi, k in ZZ$
$2x^2-16x+28 >= 0$ sse $x in (-oo, 4-sqrt(2)]uu[4+sqrt(2), +oo)$
poi abbiamo l'ultima disequazione:
$sqrt(2x^2-16x+28) >= x$
escludiamo il caso $x <= 0$ perché sappiamo già dai dati precedenti che deve essere $x > 0$
elevo al quadrato entrambi i membri e poi porto tutto al primo membro:
$2x^2-16x+28-x^2 >= 0$ sse $x <= -14 vv x >= -2$ (si poteva anche non risolvere, perché in caso di $Delta<0$ sarebbe stata sempre verificata, in caso di $Delta >=0$ le radici sono negative e la disuguaglianza è sempre verificata per $x>0$.
per l'altra mi manca un po'. ciao.
nella seconda dovrebbe essere $D=(-1/2, pi/6)uu(pi/2+kpi, 7/6 pi +kpi), k in NNuu{0}$.
tieni conto che il denominatore non è mai negativo;
numeratore>0 sse $x in (-pi/2 + h pi, pi/6 + h pi), h in ZZ$ che è la soluzione che unifica i due sistemi seguenti:
${[cosx > 0], [sen x < 1/2] :} vv {[cosx < 0], [senx > -1/2] :}
$arctg^2(|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < (pi^2)/9$ sse $-pi/3 < arctg(|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < +pi/3$ sse $-sqrt(3) < (|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < +sqrt(3)$
sse $-1 < x/(x+1) < +1$ sse $ x> -1/2$
ciao.
tieni conto che il denominatore non è mai negativo;
numeratore>0 sse $x in (-pi/2 + h pi, pi/6 + h pi), h in ZZ$ che è la soluzione che unifica i due sistemi seguenti:
${[cosx > 0], [sen x < 1/2] :} vv {[cosx < 0], [senx > -1/2] :}
$arctg^2(|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < (pi^2)/9$ sse $-pi/3 < arctg(|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < +pi/3$ sse $-sqrt(3) < (|(x*sqrt(3))/(x+1)|) < +sqrt(3)$
sse $-1 < x/(x+1) < +1$ sse $ x> -1/2$
ciao.
"bad.alex":
diventa sempre più difficile riuscire a comprendere come determinare il dominio di una funzione. Ciò che è necessario sapere per la ricerca non è sufficiente per me perchènon riesco a trovare soluzione ai miei esercizi.
ad esempio: in $(sqrt(sqrt(2x^2-16x+28)-x)/(pi-2arctg(sqrt(3^(1/x)-2^(1/x))))^(x/(1-cosx))$
oppure
$log((|cosx|-sin2x)/(sqrt(pi^2-9arctg^2|((xsqrt3)/(x+1))|))$
ma come si può mai arrivare alla soluzione...farò confusione, non lo metto in dubbio ma, sebbne nel primo non abbia idee io per la risoluzione se non porre i radicandi >=0, ciò che è al denominatore diverso da 0....non saprei come procedere.
mentre nel secondo dovrei porre l'argomento del log >0 ciò che è sotto radice >0 , in quanto deve essere diverso da 0... ma arrivati i calcoli....da piangere....
Anch'io, come franced voglia dire la mia : questi esercizi così complicati per il gusto di esserlo sono il parto di una mente malata ... so che questa mia osservazione non sarà di aiuto a bad.alex ma la volevo fare...
@ Camillo... mi devo preoccupare?
"adaBTTLS":
@ Camillo... mi devo preoccupare?
Spero di no : non sei tu l'autrice vero ??
no no, però mi sono cimentata,... ed anche divertita... !
"adaBTTLS":
no no, però mi sono cimentata,... ed anche divertita... !
ada..ti sei divertita???si vede che non so proprio come risolvere questi esercizi:(
troppo complicati.
ti rngrazio per avermeli spiegati...ancora però non sono in grado di determinare i domini delle funzioni.
alex
Non perchè ce ne sia bisogno, ma gli stessi risultati vengono anche a me.
Scusate ma non sono daccordo sul fatto che questi esercizi sono difficili per il solo gusto di esserlo. Secondo me servono a farti ragionare e ad abituarti a non fare subito solo calcoli o applicare formule. Cioè, AD ESEMPIO, bisogna notare che il denominatore del primo esercizio non si annulla mai ed altre cosette del genere che ora forse anche a me sembrano banali ma per imparare sono molto importanti.
Per quanto riguarda l'autore del post io mi sento di dirti:
non dire che non sai trovare il dominio delle funzioni; basta conoscere dove sono definite le funzioni elementari, scrivere tutte le condizioni in uno o più sistemi e risolverli. Il resto è solo attenzione, esercizio e furbizia che sarà più accentuata magari dopo aver fatto tanti calcoli e scoperto ad esempio che il denominatore del primo esercizio non si annulla mai e che ci potevi arrivare con una semplicissima osservazione sull'andamento della funzione arcotangente.
Un saluto
Scusate ma non sono daccordo sul fatto che questi esercizi sono difficili per il solo gusto di esserlo. Secondo me servono a farti ragionare e ad abituarti a non fare subito solo calcoli o applicare formule. Cioè, AD ESEMPIO, bisogna notare che il denominatore del primo esercizio non si annulla mai ed altre cosette del genere che ora forse anche a me sembrano banali ma per imparare sono molto importanti.
Per quanto riguarda l'autore del post io mi sento di dirti:
non dire che non sai trovare il dominio delle funzioni; basta conoscere dove sono definite le funzioni elementari, scrivere tutte le condizioni in uno o più sistemi e risolverli. Il resto è solo attenzione, esercizio e furbizia che sarà più accentuata magari dopo aver fatto tanti calcoli e scoperto ad esempio che il denominatore del primo esercizio non si annulla mai e che ci potevi arrivare con una semplicissima osservazione sull'andamento della funzione arcotangente.
Un saluto
"Camillo":
questi esercizi così complicati per il gusto di esserlo sono il parto di una mente malata
Molto malata!
E, soprattutto, funzioni come queste non se ne trovano in giro.
Se ne trovano magari di ben più complicate, ma non così stupidamente complicate.
forse è il caso che ti scriva alcuni esercizi che presentano difficoltà simili... ma non tutte insieme. alcuni sono presi da un testo classico per licei scientifici sperimentali (Dodero, Baroncini, Manfredi), altri sono di miei vecchi appunti (vari... ormai non sono in grado di riconoscere quali sono inventati da me...).
1) determinare il dominio delle seguenti funzioni:
$y=2^(sqrt(cos x))$, $y=sqrt(log_(1/2)\(sen x))$, $y=sqrt(2x+1-^3root^(8x^3+8x^2+10x+16))$, $y=sqrt(1-|e^(2x)-1|)$, $y=log_2\[pi/4+arctg(x^2-5/2x)]$.
2) si consideri la funzione $f(x)=|x^3-x|$
(a) verificare, con l'aiuto del teorema di Bolzano, che il codominio è $[0, +oo)$
(b) applicare il teorema di Rolle all'intervallo $[a, b]=[0, 1]$ e determinare l'ascissa $x=c$ che lo verifica
(c) spiegare perché il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$
(d) verificare, applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[-3, -1]$, che esiste almeno un valore della $x$ per cui $f'(x)=-12$
(e) studiare il grafico della funzione, determinando gli eventuali punti di discontinuità, di non derivabilità, massimi e minimi assoluti e relativi, flessi.
3) studiare la funzione $f(x)=arctg|x/(x-1)|$ . indicare per quali valori di $k$ l'equazione $f(x)=k$ ammette soluzione.
4) studiare la funzione $A(x)$, dove $A(x)=\int_0^x\f(t) dt$ , con $f(t)={[t^3, if t<=0], [t-[t], if 0=2] :}
dove $[t]$ indica la parte intera di $t$.
spero che ti siano utili. ciao.
1) determinare il dominio delle seguenti funzioni:
$y=2^(sqrt(cos x))$, $y=sqrt(log_(1/2)\(sen x))$, $y=sqrt(2x+1-^3root^(8x^3+8x^2+10x+16))$, $y=sqrt(1-|e^(2x)-1|)$, $y=log_2\[pi/4+arctg(x^2-5/2x)]$.
2) si consideri la funzione $f(x)=|x^3-x|$
(a) verificare, con l'aiuto del teorema di Bolzano, che il codominio è $[0, +oo)$
(b) applicare il teorema di Rolle all'intervallo $[a, b]=[0, 1]$ e determinare l'ascissa $x=c$ che lo verifica
(c) spiegare perché il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$
(d) verificare, applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[-3, -1]$, che esiste almeno un valore della $x$ per cui $f'(x)=-12$
(e) studiare il grafico della funzione, determinando gli eventuali punti di discontinuità, di non derivabilità, massimi e minimi assoluti e relativi, flessi.
3) studiare la funzione $f(x)=arctg|x/(x-1)|$ . indicare per quali valori di $k$ l'equazione $f(x)=k$ ammette soluzione.
4) studiare la funzione $A(x)$, dove $A(x)=\int_0^x\f(t) dt$ , con $f(t)={[t^3, if t<=0], [t-[t], if 0
dove $[t]$ indica la parte intera di $t$.
spero che ti siano utili. ciao.
sto iniziando dal dominio. la prima è definita per cosx>=0 pertanto in $[2kpi, pi/2+2kpi]$. la terza funzione: la radice cubica è sempre definita in tutto R mentre per quella quadrata si dovrebbe porre 2x-1>=$sqrt....$ e mi sembra che qui bisogn distinguere i vari casi per radicale con indice pari. Per la seconda il logaritmo è definito per sinx>0 pertanto in $]pi+2kpi,pi/2+2kpi]$( non so scrivere i domini... 
)..la quarta..ehm...la quinta: l'argomento del logaritm deve essere maggiore di 0 pertanto si scrive
$pi/4+arctg(x^2-(5/2)x)>0$sappiamo che la funzione arcotangente è definita in $[-pi/2,pi/2] $quindi possiamo scrivere:
$-pi/2
)..la quarta..ehm...la quinta: l'argomento del logaritm deve essere maggiore di 0 pertanto si scrive$pi/4+arctg(x^2-(5/2)x)>0$sappiamo che la funzione arcotangente è definita in $[-pi/2,pi/2] $quindi possiamo scrivere:
$-pi/2
limitiamoci all'esercizio 1).
per la prima, la condizione è esatta, la soluzione no: sostanzialmente non hai considerato il quarto quadrante, nella scrittura hai perso un $-pi/2$.
per la seconda, la condizione è esatta (la immagino, anche se non è scritta bene), la soluzione è meno complicata di quanto dici, perché si tratta di elevare a 3, numero dispari, entrambi i membri.
per la terza hai scritto solo una condizione (non è sufficiente), oltre ad avere scritto male il risultato parziale: $pi > pi/2$... ed il primo quadrante? poi devi dire anche quando il logaritmo (base < 1) è >= 0.
per la quinta, la condizione iniziale è esatta, ma c'è un po' di confusione nella terminologia... mentre è una buona idea chiamare t l'argomento e mettere a sistema le disequazioni che hai scritto, e trattare in un secondo momento la trasformazione da t a x, non dire , per favore, "moltiplicando per t"...
per la quarta, devi fare due casi, e due sistemi... dai che puoi farcela. ciao.
per la prima, la condizione è esatta, la soluzione no: sostanzialmente non hai considerato il quarto quadrante, nella scrittura hai perso un $-pi/2$.
per la seconda, la condizione è esatta (la immagino, anche se non è scritta bene), la soluzione è meno complicata di quanto dici, perché si tratta di elevare a 3, numero dispari, entrambi i membri.
per la terza hai scritto solo una condizione (non è sufficiente), oltre ad avere scritto male il risultato parziale: $pi > pi/2$... ed il primo quadrante? poi devi dire anche quando il logaritmo (base < 1) è >= 0.
per la quinta, la condizione iniziale è esatta, ma c'è un po' di confusione nella terminologia... mentre è una buona idea chiamare t l'argomento e mettere a sistema le disequazioni che hai scritto, e trattare in un secondo momento la trasformazione da t a x, non dire , per favore, "moltiplicando per t"...
per la quarta, devi fare due casi, e due sistemi... dai che puoi farcela. ciao.
ada...a dire il ver credo proprio di essere arrivato. dopo quel che ho scritto non ho idea di come scrivere il resto...cmq sto provando a risolvere cercando di ragionarci. per il numero 1, devo prendere i valori della x appartenenti al primo quadrante e al quarto in quanto lì è crecente. ( ho fatto il disegno come suggeriscono gli appunti di matematicamente), sperando di non aver sbagliato $[-pi/2+2kpi,pi/2+2kpi]$ anche se non so con esattezza come scriverlo in quanto deve essere compreso tra 0 e pi/2 per il primo quadrante e 3pi/2 e 2pi per il quarto quadrante.
risolvo il resto e posto.
allora...se non ho sbagliato i calcoli: il dominio della radice cubica è tutto R, mentre l'unione delle soluzioni dovrebbe dare come risultato ]-oo,-3/2]U[5/2,+oo[
risolvo il resto e posto.
allora...se non ho sbagliato i calcoli: il dominio della radice cubica è tutto R, mentre l'unione delle soluzioni dovrebbe dare come risultato ]-oo,-3/2]U[5/2,+oo[
"adaBTTLS":
per la terza hai scritto solo una condizione (non è sufficiente), oltre ad avere scritto male il risultato parziale: $pi > pi/2$... ed il primo quadrante? poi devi dire anche quando il logaritmo (base < 1) è >= 0.
per la terza procedo in questo modo:
ilradicando deve essere posto >=0 e l'argomento del logaritmo deve essere posto >0 ma poichè 1/2 è <1 devo risolvere il sistema ponendo l'argomento >0 e l'argomento minore uguale a 1.
allora
sinx>0
sinx<=1
il che si verifica nel primo quadrante...ma non so come scriverlo...
c'è la variabilità di $2kpi$ che ti gestisce in quale giro ti trovi. certo che se vuoi scrivere un unico intervallo che comprenda il primo ed il quarto quadrante, li devi prendere consecutivi e quindi il quarto in realtà deve appartenere al giro precedente. scritto così va bene. devi tener conto che la scritta $x in [a, b]$ è equivalente alla scritta $a <= x <=b$, e quindi, in particolare, deve essere $a<=b$. l'altro non l'ho svolto, ma il tuo risultato coincide con quello del libro.
ora è il caso di parlare della seconda: $senx > 0$ nel primo e nel secondo quadrante, quindi, a meno di multipli di $2pi$, da $0$ a $pi$... inoltre deve essere $log_(1/2)\sen x\>= 0$ e, poiché 1/2 < 1, la funzione logaritmo è decrescente... dunque è positiva se l'argomento è < 1 (ma sen x è minore di uno sempre, tranne quando vale proprio uno, cioè in $pi/2$ a meno di multipli di $2pi$ ). mettendo insieme tutte queste informazioni si ha $0 < sen x < 1$, quindi x nel primo o nel secondo quadrante, ma senza i valori particolari ( $0$, $pi/2$, $pi$ ). $D=(2kpi, pi/2+2kpi)uu(pi/2+2kpi, pi+2kpi), k in ZZ$. ciao.
ora è il caso di parlare della seconda: $senx > 0$ nel primo e nel secondo quadrante, quindi, a meno di multipli di $2pi$, da $0$ a $pi$... inoltre deve essere $log_(1/2)\sen x\>= 0$ e, poiché 1/2 < 1, la funzione logaritmo è decrescente... dunque è positiva se l'argomento è < 1 (ma sen x è minore di uno sempre, tranne quando vale proprio uno, cioè in $pi/2$ a meno di multipli di $2pi$ ). mettendo insieme tutte queste informazioni si ha $0 < sen x < 1$, quindi x nel primo o nel secondo quadrante, ma senza i valori particolari ( $0$, $pi/2$, $pi$ ). $D=(2kpi, pi/2+2kpi)uu(pi/2+2kpi, pi+2kpi), k in ZZ$. ciao.
grazie ada. volevo capire adesso come fare a risolvere l'esercizio numero 2...teorema di bolzano...cose fatte in teoria ma senza nulla di concreto...
non avevo visto la tua risposta. va bene sen x <= 1 (e $pi/2$ può essere compreso), però devi considerare anche il secondo quadrante. dunque più semplicemente $D=(2kpi, (2k+1)pi), k in ZZ$. ciao.
l'esercizio 2) te lo posterò più tardi. ora pensa a fare gli ultimi due domini ed il 3).
2) si consideri la funzione $f(x)=|x^3-x|$
(a) verificare, con l'aiuto del teorema di Bolzano, che il codominio è $[0, +oo)$
(b) applicare il teorema di Rolle all'intervallo $[a, b]=[0, 1]$ e determinare l'ascissa $x=c$ che lo verifica
(c) spiegare perché il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$
(d) verificare, applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[-3, -1]$, che esiste almeno un valore della $x$ per cui $f'(x)=-12$
(e) studiare il grafico della funzione, determinando gli eventuali punti di discontinuità, di non derivabilità, massimi e minimi assoluti e relativi, flessi.
innanzitutto f(x) è definita in tutto R. Inoltre è continua in un intervallo chiuso in quanto somma di funzioni continue. il teorema di Bolzano afferma che per f definita in un itnervallo chiuso e limitato, con f continua, tale che f(x1)<0
(a) verificare, con l'aiuto del teorema di Bolzano, che il codominio è $[0, +oo)$
(b) applicare il teorema di Rolle all'intervallo $[a, b]=[0, 1]$ e determinare l'ascissa $x=c$ che lo verifica
(c) spiegare perché il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$
(d) verificare, applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[-3, -1]$, che esiste almeno un valore della $x$ per cui $f'(x)=-12$
(e) studiare il grafico della funzione, determinando gli eventuali punti di discontinuità, di non derivabilità, massimi e minimi assoluti e relativi, flessi.
innanzitutto f(x) è definita in tutto R. Inoltre è continua in un intervallo chiuso in quanto somma di funzioni continue. il teorema di Bolzano afferma che per f definita in un itnervallo chiuso e limitato, con f continua, tale che f(x1)<0
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