Ricerca del dominio

[bad.alex]

diventa sempre più difficile riuscire a comprendere come determinare il dominio di una funzione. Ciò che è necessario sapere per la ricerca non è sufficiente per me perchènon riesco a trovare soluzione ai miei esercizi.
ad esempio: in $(sqrt(sqrt(2x^2-16x+28)-x)/(pi-2arctg(sqrt(3^(1/x)-2^(1/x))))^(x/(1-cosx))$
oppure
$log((|cosx|-sin2x)/(sqrt(pi^2-9arctg^2|((xsqrt3)/(x+1))|))$

ma come si può mai arrivare alla soluzione...farò confusione, non lo metto in dubbio ma, sebbne nel primo non abbia idee io per la risoluzione se non porre i radicandi >=0, ciò che è al denominatore diverso da 0....non saprei come procedere.
mentre nel secondo dovrei porre l'argomento del log >0 ciò che è sotto radice >0 , in quanto deve essere diverso da 0... ma arrivati i calcoli....da piangere....

[adaBTTLS1]

tranne il punto (e), questo è un esercizio che ho assegnato io in un compito, prima che si trattasse lo studio completo del grafico di una funzione.
ho mantenuto le notazioni del libro di testo. per quanto riguarda i nomi dei teoremi ci può essere un po' di confusione (teoremi sulle funzioni continue: Bolzano Weierstrass, esistenza degli zeri... io qui intendo il teorema dei valori intermedi.). chiedi eventualmente altri chiarimenti sul testo, ma per adesso non ho nessuna intenzione di "servirti" la soluzione.
io ti consiglio di scrivere (su un foglio, non qui) gli enunciati di tutti i teoremi citati e di riflettere...
se ora sei confuso, per adesso lascia perdere e torna agli altri esercizi. ciao.

[bad.alex]

"adaBTTLS":l'esercizio 2) te lo posterò più tardi. ora pensa a fare gli ultimi due domini ed il 3).

in $sqrt(1-|e^(2x)-1|)$ non ho fatto granchè.
non so come passare ai logaritmi...una cosa banalissima ma mi evito una cavolata...
ho svolto ponendo a sistema il radicando >=0 ed eliminando il valore assoluto. così arrivo all'unione di due sistemi in cui nel primo:
$e^(2x)<=2$ per x>=0
e il secondo invece $e^(-2x)<=0$...
per il'ultimo non so come procedere. arrivo sempre alle considerazioni fatte precedentemente....te l'ho detto...non sono granchè ...

[bad.alex]

"bad.alex":2) si consideri la funzione $f(x)=|x^3-x|$
(a) verificare, con l'aiuto del teorema di Bolzano, che il codominio è $[0, +oo)$
(b) applicare il teorema di Rolle all'intervallo $[a, b]=[0, 1]$ e determinare l'ascissa $x=c$ che lo verifica
(c) spiegare perché il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$
(d) verificare, applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[-3, -1]$, che esiste almeno un valore della $x$ per cui $f'(x)=-12$
(e) studiare il grafico della funzione, determinando gli eventuali punti di discontinuità, di non derivabilità, massimi e minimi assoluti e relativi, flessi.

innanzitutto f(x) è definita in tutto R. Inoltre è continua in un intervallo chiuso in quanto somma di funzioni continue. il teorema di Bolzano afferma che per f definita in un itnervallo chiuso e limitato, con f continua, tale che f(x1)<0 se risolvessi il sistema di disequazioni per eliminare il valore assoluto ottengo che x deve essere maggiore di 1...

il punto b credo di averlo risolto. per il teorema di Weierstrass in [a,b] la f(x) ammette massimo e minimo assoluti, inoltre è continua in[0,1] e derivabile nell'intervallo aperto. e' verificata la condizione necessaria affinchè sia valdo il teorema di Rollein quanto f(0)=f(1). l'ascissa x=c può rsultarmi 0? ecco...questo è un punto che non mi è chiaro. probabilmente, non ho verificato effettivamente, per il punto c, il teorema di rolle non è applicabile in quanto f(x1) è diversa da f(x2). ormai mi sono intestardito con questo esercizio....ma qello sui domini miha definitivamente distrutto....e ciò che è grave è l fatto che non siano così complcati, per me lo sono ma non cred lo siano....buahhhh

[adaBTTLS1]

con x<0 viene semplicemente $e^(2x) >= 0$ che è sempre verificata. ritorniamo all'altra. passo ai logaritmi: ho esponenziale di base $e$, dunque prendo i logaritmi naturali ed essendo $e>1$ la funzione logaritmo è crescente-> $log(e^(2x)) <= log(2) -> 2x <= log(2) -> x <= 1/2 log(2)=log(2^(1/2))=log(sqrt(2))$. unendo i due risultati $D=(-oo, log(sqrt(2))]$.
per l'altro esercizio, intendevo, risolvi prima il sistema ${[-pi/2 < arctg t < pi/2], [pi/4 + arctg t > 0] :}$, cioè $-pi/4 < arctg t < pi/2$, cioè $-1 < t < +oo$.
basta risolvere la disequazione $t > -1$, cioè $x^2-5/2x > -1$ -> $x^2-5/2x+1>0$. $D=(-oo, 1/2)uu(2, +oo)$.
queste erano cose a livello di liceo sperimentale. l'esercizio 3) è stato dato ad un compito di Analisi 1 molti anni fa. ciao.

[adaBTTLS1]

i teoremi di Weierstrass & C. sono noti come teoremi delle funzioni continue. Rolle & C. come teoremi delle funzioni derivabili... non confondere il valore della funzione con il valore della derivata...

[bad.alex]

"adaBTTLS":i teoremi di Weierstrass & C. sono noti come teoremi delle funzioni continue. Rolle & C. come teoremi delle funzioni derivabili... non confondere il valore della funzione con il valore della derivata...

ada...allora non so proprio come proseguire
so quanto hai detto...
ho svolto l'esercizio 3 per la parte che richiede lo studio grafico di funzione. riporto i valori qua anche perchè il grafico non lo so tracciare e poi c'è qualcosa che non mi quadra..è continua in tutto R\{1}.
f(0)=0
$lim_(x to 1) f(x)=pi/2 ; lim_(x to oo)f(x)=pi/4 $y=pi/4 è asintoto orizzontale
esplicitando il valore assoluto ottengo:
f(x)1= $arctg(x/(x-1))$ per x in ]-oo,0]U[1, +oo[
f(x)2=$-arctg(x/(x-1))$ per x in [0,1[[
non so se gli intervalli sono corretti ma ricordavo che il prof avesse svolto qualcosa di simile.
$f'(x)1=-1/(1+x^2) $ sempre decrescente nell'intervallo.
$f'(x)2= 1/(1+x^2)$ sempre crescente nell'intervallo.
$f''(x)1=-2x/(1+x^2)^2$ e $f''(x)2= 2x/(1+x^2)^2$
f''(x)=0 se x =0
il problema è, a parte il grafico, tutto il resto dei miei calcoli. non credo siano corretti sino in fondo. spero nel calcolo delle derivate...

[adaBTTLS1]

l'argomento dell'arcotangente non è x... quindi le derivate non sono così... comunque i segni della derivata prima vengono uguali. però se correggi dovrebbero esserci differenze sostanziali per la derivata seconda, perché ho un abbozzo di grafico da cui pare che ci sia un flesso per x in (0,1), in x=0 dovrebbe esserci un punto angoloso ed un minimo e in x=1 una discontinuità eliminabile (nonché un estremo superiore per il codominio). i limiti sono giusti. il codominio è é $[0, pi/2)$ e l'equazione ammette almeno una soluzione per k in tale intervallo (due soluzioni se $k in (0, pi/4)uu(pi/4, pi/2)$, una soluzione se $k=0$ oppure se $k=pi/4$.
per quanto riguarda i teoremi citati, quello a cui mi riferisco io è detto anche teorema di Darboux: dice che una funzione continua in un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo. in realtà tu dovresti usarlo in una accezione più ampia attraverso l'uso della definizione di limite infinito...
$f(x)=|x^3-x|$ è definita e continua per ogni x reale, è sempre non negativa, assume valore zero per x=0,+1,-1. in questi punti non è derivabile. in (-1,0) ha un punto di massimo relativo, e così pure in (0,1). il teorema di Rolle non è applicabile all'intervallo $[1-sqrt(2), -1+sqrt(2)]$ non perché assume valori diversi agli estremi (nota che sono opposti..., la funzione senza modulo è dispari, con il modulo è diventata pari...), ma perché $x=0$ appartiene a tale intervallo e la funzione non è derivabile in $x=0$.
teorema di Lagrange. intervallo [-3,-1]. per x< -1 la funzione è $-x^3+x$ e la derivata è $-3x^2+1$. f(-3)=24, f(-1)=0. troviamo c | f'(c)=(0-24)/(-1+3)=-12. scriviamo l'equazione $-3x^2+1=-12 -> -3x^2=-13 -> x^2=13/3 -> x=+-sqrt(13/3) "circa" +-2.08$ . la soluzione negativa appartiene all'intervallo (-3,-1), quindi il nostro c è $-sqrt(13/3)$.
non avrai difficoltà a trovare i due massimi relativi (sono gli stessi valori che verificano Rolle in (-1,0) e in (0,1).
non avrai difficoltà nemmeno a dimostrare che $lim_(x->+-oo)\f(x) = +oo$. basta già questo a dire che il codominio è [0,+oo[ .
però se vogliamo addentrarci in discorsi più sofisticati, considera l'intervallo [1,+oo[ . f(1)=0, ed inoltre per ogni fissato numero reale positivo L, (dalla definizione di limite infinito per x che tende all'infinito) possiamo considerare M > L e dire che esiste K > 0 tale che se x>K allora f(x)>M. poiché la funzione è continua dovrà assumere tutti i valori compresi tra 0 e M, in particolare L. poiché L era arbitrario, la f assumerà almeno una volta tutti i valori compresi tra 0 e +oo.
ciao.

[bad.alex]

ciao ada. Si...mi sono accorto dopo degli errori sulle derivate... giustissimo quel che hai detto. devo rivedere il punto 2 perchè è qualcosa che a dire il vero il nostro prof non ha spiegato...strano a dirsi data l'importanza degli argomenti ma mi ha appena riferito una mia collega quanto fatto....
quindi sei una professoressa...e io fortunato!

grazie mille,

alex

[adaBTTLS1]

insegno alle scuole superiori... l'esercizio 2) era forse di un quinto scientifico tradizionale... mentre il 3) era dell'università (1985)...
il precedente messaggio sugli ultimi due dominii non è passato inosservato, vero?
ciao.

[bad.alex]

"adaBTTLS":insegno alle scuole superiori... l'esercizio 2) era forse di un quinto scientifico tradizionale... mentre il 3) era dell'università (1985)...
il precedente messaggio sugli ultimi due dominii non è passato inosservato, vero?
ciao.

no, non è passato inosservato ogni post viene letto con attenzione da me. d0altronde...se chiedo aiuto su qualcosa è perchè non conosco l'argomento a fondo pertanto...su le maniche perchè mi attendono quasi due settimane di intensissimo lavoro. in parallelo sto studiando la teoria. i limiti, malgrado non riesca a calcolarli..spesso e volentieri, sono argomenti che già ho trattato. lo stesso per le funzioni continue. mi mancano i domini e i numeri complessi. sono molto difficile. non nego di aver paura nela quasi certezza di sbagliare all'esame il dominio della funzione, nonchè i limiti alcolati agli estremi...infatti cerco esercizi su questi, in modo tale da poter confrontarmi con chi già sa.
ti ringrazio ada. Sono stati utilissimi i tuoi esercizi. un abbraccio,

alex
(p.s. se hai qualcosa sui domini...)