Retta Tangente all'insieme

[pierpaoloni]

Buonasera ragazzi, sono in difficoltà con questo esercizio ed un vostro aiuto è moooolto gradito ....
Siano

$ h(x,y) = x^4 + y^4 + (x^3/3) - 7/4 x^2 + x/2 + 1 $
e $V={(x,y)€R^2 : x^4 + y^4 - x^2 = 0 } $

1) Scrivere l'equazione della retta tangente a V nel punto (1,0)

Ho utilizzato il teorema del Dini, quindi:
-$ g(x,y)= f(x,y)-f(1.0) = x^4 + y^4 - x^2 - 0 $
verifico che $ g(x0,y0)= 0 $ ed è vero
-$ g_y(x,y)= 4y^3 $
verifico che $ g_y(x0,y0)!= 0 $ ed è falso

MI fermo qui? Come proseguo? Grazie in anticipo^^

[gugo82]

Beh, il fatto che $g_y(x_0,y_0)=0$ ti dice che non puoi pensare alla porzione di $V$ intorno al punto $(x_0,y_0)$ come alla curva-grafico di una funzione $x\mapsto \gamma (x)$.

Ma non vedo cosa ciò abbia a che vedere con la retta tangente a $V$ in $(x_0,y_0)$, la quale (sempre per il Teorema del Dini) ha equazione implicita:
\[
g_x(x_0,y_0)\ (x-x_0) + g_y(x_0,y_0)\ (y-y_0)=0\ldots
\]

[pierpaoloni]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta....
Scusami, ma non mi è chiara una cosa. Verifico l'appartenenza del punto all'insieme V, cioè verifico se l'equazione è soddisfatta sostituendo $x=x_0 e y=y_0$. Poi non devo verificare le ipotesi del Dini, dato che quella formula è conseguenza del Dini? O basta che verifico che il gradiente nel punto $(x_0,y_0)$ sia diverso da 0?